第7章-慣性矩與慣性積

1質心：物體總質量集中于一點。重心：物體的重力的合力作用點。建筑力學7.1靜矩和形心形心：截面圖形的幾何中心。質心是針對實物體而言的，而形心是針對抽象幾何體而言的，對于密度均勻的實物體，質心和形心重合。靜矩：面積對某軸的一次矩。一般用S來表示。

（10-1）（10-2）2建筑力學

從上式可以看出來，(1)靜矩為代數值，靜矩的單位是m3、mm3。(2)平面圖形的面積A與其形心到某一坐標軸的距離的乘積稱為平面圖形對該軸的靜矩。(3)不同截面對同一坐標軸的靜矩不同；同一截面對不同坐標軸的靜矩也不同。(4)若圖形對某一軸的靜距等于零，則該軸必然通過圖形的形心；若某一軸通過圖形的形心，則圖形對該軸的靜距必然等于零。ydACxOyyCxxC3建筑力學

組合圖形的靜矩和形心截面對某一軸的靜距等于其組成部分對同一軸的靜距之和。設截面圖形由幾個面積分別為A1、A2、A3…An，的簡單圖形組成，且各圖形的形心坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)…(xn，yn)，則圖形對x軸和y軸的靜矩為：截面圖形的形心坐標為：4[例]截面圖形如圖所示，試計算該截面圖形形心位置和對y軸的靜矩。解：將該截面看成由矩形①和矩形②組成，每個矩形的面積和形心坐標分別為：矩形①：A1=1250mm2，y1=5mm，矩形②：A2=700mm2，y2=45mm，①②單位：mmz1=62.5mmz2=5mm截面對y軸的靜矩為：或5建筑力學7.2

慣性矩和慣性積慣性矩：面積對某軸的二次矩。慣性積：面積與其到x軸、y軸距離的乘積稱為該面積對坐標軸的慣性積。慣性半徑(工程中表示慣性矩的方法)：極慣性矩：平面內任意面積dA與其到坐標原點距離平方的乘積。6

當截面由n個簡單圖形組合而成時，截面對于某根軸的慣性矩等于這些簡單圖形對于該軸的慣性矩之和。即:建筑力學

組合截面的慣性矩和慣性積7建筑力學[例]求圖示截面對x軸的慣性矩。解：圖示截面看成是矩形截面在左右各方，挖去兩個半圓構成，因此，圖示截面對x軸的慣性矩等于矩形對x軸的慣性矩減去兩個半圓的慣性矩，即：x200mm200mmR80mm8建筑力學7.3

平移軸公式

上式說明，截面圖形對任一軸的慣性矩，等于圖形對其平行的形心軸的慣性矩加上兩軸間距離的平方與圖形面積之積；而截面圖形對于任意一對互相垂直軸的慣性積，等于圖形對于與其平行的一對形心軸的慣性積加上圖形形心坐標與其面積之積。9試計算截面對水平形心軸yc的慣性矩。[例]①②單位：mmC解：已算出該截面形心C的坐標為：yc=19.36mm，zc=41.9mm截面對軸yc的慣性矩應等于矩形①對軸yc的慣性矩加上矩形②對yc軸的慣性矩。即：矩形①對yc軸的慣性矩為：矩形②對yc軸的慣性矩為：所以可得：10試計算截面對水平形心軸yc和垂直形心軸zc的慣性積。[例]解：已算出該截面形心C的坐標為：yc=19.36mm，zc=41.9mm截面對水平形心軸yc和垂直形心軸zc的慣性積應等于矩形①對水平形心軸yc和垂直形心軸zc的慣性積加上矩形②對水平形心軸yc和垂直形心軸zc的慣性積。即：①②單位：mmC矩形①對yc和zc軸的慣性積為：矩形②對yc和zc軸的慣性積為：所以可得：11建筑力學7.4

主慣性軸和主慣性矩上式為計算慣性矩及慣性積的轉軸公式。

若Iy1z1=0，則坐標軸y1和z1軸稱為截面的主慣性軸；Iy1與Iz1稱為主慣性矩。當主慣性軸y1和z1通過形心時，則為形心主軸，截面對形心主軸的慣性矩稱為形心主矩。12建筑力學主慣性矩Iyp與Izp的計算公式為：形心主慣性軸和形心主慣性矩的計算步驟：(1)確定組合截面形心的位置；(2)計算通過截面形心的一對坐標軸yc與zc的慣性矩Iyc

、

Izc和慣性積Iyczc

；(3)通過轉軸公式確定形心主慣性軸的方位角α，并計算形心主慣性矩Iyp和Izp

。13試確定截面形心主軸的位置以及計算截面的形心主矩。[例