線性代數典型例題

一、計算排列的逆序數二、計算（證明）行列式三、克拉默法則典型例題1.行列式的定義二、行列式的計算（證明）2.行列式的性質性質1

行列式與它的轉置行列式相等．性質3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數k，等于用數k乘此行列式．性質4

行列式中如果有兩行（列）元素對應成比例，則此行列式為零．性質5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和，則D等于兩個行列式之和．性質6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列（行）對應的元素上去，行列式不變．性質2

互換行列式的兩行（列），行列式變號．3.代數余子式的性質4.典型的行列式1）上三角行列式

2）下三角行列式3）4）5）范德蒙德(Vandermonde)行列式常用方法1.定義法

利用定義計算（證明）．

2.化三角形法

利用行列式的性質將行列式化為三角形行列式．5.降階法

利用按行（列）展開法則，化行列式為較低階行列式．6.遞推法

利用行列式的性質，把一個行列式表示為具有相同結構的較低階行列式的線性關系，再根據此關系式遞推求得行列式的值．7.數學歸納法．4.目標法

利用已知行列式進行計算．其中最重要的行列式是范德蒙德行列式．3.化簡法

利用行列式性質化簡．

注意:一個行列式的計算方法往往不是唯一的，有時甚至需多種方法綜合使用．

由于行列式的計算方法很多，但具體到一個題目用什么方法求解往往不是一件容易決定的事情．應注意行列式的特征，掌握了行列式的特征，也就自然找到了求解方法．解題提示1.定義法

用定義計算（證明）例1計算特征行列式中零元素比較多.解評注

從一般項入手，首先確定所有的非零項，然后確定每一項的符號，最后給出代數和.

這是用定義計算行列式的一般步驟.展開式中項的一般形式是例2設證明由行列式的定義，有評注本題證明兩個行列式相等，即證明兩點:

一、兩個行列式有完全相同的項；

二、每一項所帶的符號相同.2.化三角形法特征1

行列式各行（列）元素的和都相同．例3計算分析行列式的特點是各行元素的和都相等，遇到這種情況，常常把各列都加到第一列，提取公因子后再化簡．解提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得練習計算特征2

第一行、第一列及對角線元素除外，其余元素全為零的行列式．求第一行各元素的代數余子式之和例4解第一行各元素的代數余子式之和可以表示為目標:把第一列化為“箭”型行列式一般地可化為“箭”型行列式6(1)計算行列式解3.化簡法例5計算解4.目標行列式法例6計算

(1)利用范德蒙行列式計算行列式.

根據范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據范德蒙行列式計算出結果.解計算行列式解將D的第1行加到第3行，得例7計算解(2)利用典型行列式.5．降階法利用行列式的性質將所給行列式的某行(列)化成只含有一個非零元素，然后按此行(列)展開，每展開一次，行列式的階數可降低1階，如此繼續進行，直到行列式能直接計算出來為止(一般展開成二階行列式）.這種方法對階數不高的數字行列式比較適用.6．遞推法行列式某一行（列）至多有兩個非零元素．一般按此行（列）展開．例1-17計算行列式解按第1行展開，得即6(5)計算解按第1列展開以此作遞推公式，可得評注7．用數學歸納法例8證明證對階數n用數學歸納法評注計算行列式的方法比較靈活，同