奧賽天天練(填三階幻方)

《奧賽天天練》第講《巧填幻方》。概念：如果一個n×n矩陣（教材中表現(xiàn)為方格圖）的每行，每列及兩條對角線的元素之和都相等，且這些元素都是從到n×n的自然數(shù)，這樣的矩陣就稱為n幻方有關(guān)幻方問題的研究在我國已流傳了兩千多年這是一類形式獨(dú)特的填數(shù)字問題。本講主要介紹比較簡單的三階幻方的填寫，三階幻方就n=3時的幻方。三階幻的填法：三階幻方傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”，在北周的甄彎注《數(shù)術(shù)記遺》一書中記有三階幻方的填法九宮者，二為肩，八為足，左右三，戴九一，五中央。三階幻的構(gòu)造方法我國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家輝是最早系統(tǒng)研究幻方的數(shù)學(xué)家。他曾將幻方命名為“縱橫圖”(階幻方也叫絡(luò)書或九宮圖)給出了三階、四階幻方構(gòu)造方法的說明階以上幻方輝只畫出圖形而未留下作法但他所畫的五階六階乃至十階幻方全都準(zhǔn)確無誤輝在《續(xù)古摘奇算法》中，總結(jié)出了三階幻方構(gòu)造的方法“九子斜，上下對易左右相，四維挺出。”思是：先把l九個數(shù)依次斜排（如下圖一），再把上l9數(shù)對調(diào)（如下圖二），左73數(shù)對調(diào)（如下圖三），最后把四面的2、4、6向外面挺出（如下圖四），這樣就構(gòu)造了一個三階幻方。199424249757357868681911圖一

圖二

圖三

圖四三階幻方的填法不是唯一的矩陣的第一行與第三行對調(diào)或第一列與第三列對調(diào)，可以得出4種填法，將其中的任意一種填法旋90°，又可以得到另外的4填法例如，將上面圖四的第一列與第三列對調(diào)，就可以得出前面口訣中的填法。三階幻方的構(gòu)造原理：通常我們把幻方中每行個數(shù)的和稱為幻方的幻和，幻方正中心的那個數(shù)叫做中心數(shù)中心數(shù)也就是這個數(shù)的中位數(shù)從到這9數(shù)的和為：…8+9=45；則三階幻方每個數(shù)字之和即幻和為：=15。到這9個數(shù)中，和的3數(shù)，只能是、9+4+2、8+6+1、、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每條對角線上個數(shù)只能是其中某個算式中的3個數(shù)。仔細(xì)分析九宮格經(jīng)過中心數(shù)的有一行、一列和兩條對角線，即這個數(shù)必須在4不同的算式中出現(xiàn)在上面的算式中只有符合要求。同理經(jīng)過九宮格四個角上的數(shù)字都有一行、一列和一條對角線，即四個角上的數(shù)字必須同時個不同的算式中出現(xiàn)，只有2、6、8符合要求。先填好中心數(shù)和四個角上數(shù)字，再完成其它填空，就完成幻方填寫了。在教學(xué)時可引導(dǎo)孩子發(fā)現(xiàn)三階幻方中數(shù)字有趣的排列順序如四個偶數(shù)在四角從某個方向看奇偶數(shù)的是按大小有序排列的等等讓孩子在了解構(gòu)造方法的基礎(chǔ)上熟記簡單三階幻方的填法口訣寫三階幻方的個數(shù)論如何變化，只要將它們按大小的順序排列編號，均可按口訣“對號入座”完成填空；理解并掌握幻方中的兩個公式：幻和＝中心數(shù)；幻和＝總數(shù)可以在已知幻和的情況下，先求出中心數(shù)，或在已知中心數(shù)的情況下，先求出幻和，以便繼續(xù)求出其它的數(shù)讓孩子初步了解幻方的構(gòu)造原理這種推理方法在學(xué)習(xí)其它問題時可以遷移使用?！秺W賽天練》第講，模訓(xùn)練，習(xí)【題目：將下面左邊方格中的9個填入右邊幻方中，使每一行、每一列條對角線中的三個數(shù)相加的和相等?！窘馕觯航夥ㄒ话堰@九個數(shù)按從小到大的順序依次編號，1、3號為“6”，4、5、6號為8”、8、9號為10”。按口訣：九宮者，二四為肩，六八為足，左七右三，戴九履一，五居中央。對號入座，如下圖可以填好表格。解法二這個三階幻方的幻和為10+8+6=24；中心數(shù)為24÷3=8。如上圖：首先可以填好中心數(shù)8。因?yàn)榛煤蜑椋我庑辛腥绻袀€，3個數(shù)的和必定小于24所以任意行列不可能有個6，根據(jù)這點(diǎn)，第二步可以確定個6位置，保證任26不同行不同列，不在同一條對角線上三步根據(jù)已填好的四個數(shù)，及幻和為，可以完成余下的填空。《奧賽天練》第講，鞏訓(xùn)練，題【題目：將9連續(xù)自然數(shù)填入的方格使每一橫行每一豎行及兩條對角線的3數(shù)之和都等于60?！窘馕觯河梢阎獥l件可知，這個幻方，幻和為中心數(shù)為：所以這9個連續(xù)的自然數(shù)為：、17、19、20、21、22、23、24。把這九個數(shù)按從小到大的順序依次編號，按口訣對號入座，可完成表格。如下圖：《奧賽天練》第講，鞏訓(xùn)練，題【題目：下圖中，要使每一行，每一列，兩條對角線上三個數(shù)的和都是27，B，，E，F(xiàn)，G應(yīng)各是多少？【解析：由題意可知幻和為中心數(shù)為27÷3=9所以等于填好中心數(shù)后，根據(jù)幻和，可以用蠶食的方法依次求出其它方格里的數(shù)：；G=27-5-12=10；A=27-10-9=8；B=27-8-5=14；F=27-9-14=4。答案略?！秺W賽天練》第講，拓提高，題【題目：在下面一個三階幻方中已填入了一個數(shù)，請在其它個空格填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得9方格是9個連續(xù)自然數(shù)?！窘馕觯河梢阎獥l件可知這個幻方的中心數(shù)為所以這個連續(xù)的自然數(shù)為8、9、10、11、12、13、14、15、16。把這九個數(shù)按從小到大的順序依次編號，按口訣對號入座，可完成表格。如下圖：《奧賽天練》第講，拓提高，題【題目：在下面兩個圖形中的空格填入不大于互不相同的自然數(shù)（其中已各填好一個數(shù)），使每一橫行、每一豎行及兩條對角線的個數(shù)之和都等于?！窘馕觯河深}意可知，幻和為，中心數(shù)為：如下圖，可以分別填好兩個方格圖中的一條對角線。因?yàn)橹行臄?shù)是，經(jīng)過中心數(shù)每一組另外兩個數(shù)必須一個大于10個小于所以兩個方格圖中剩下個數(shù)中有個數(shù)大于且不大于15題目左圖中，大于的數(shù)可能是、13、14、15，數(shù)字如果和同行列，，8重復(fù)出現(xiàn)與題意不符；如果數(shù)1412行列，14+12+4=30，而必須出現(xiàn)，與題意不符。所以，左圖于的三個數(shù)只能是11、13，剩下的3個數(shù)是：9、7、5通過嘗試檢驗(yàn)、或“對號入座”可以完成表格，如上圖一。同理，題目右圖于的數(shù)可能是、12、13、15，數(shù)字如果和同行列，12+6+12=30，12重復(fù)出現(xiàn)與題意不符；如果數(shù)字12與14行列，12+14+4=30，而4+10+16=30，必須出現(xiàn)16，與題意不符。所以，右圖于三個數(shù)只能是11、13