成都樹德中學高2023級第二期期中考試數學試題

成都樹德中學高2023級第二期期中考試數學試題命題牟秀錦考試時間:120分鐘試卷滿分：150分一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分。每小題所給四個選項中，只有一個選項符合題目要求。請將所選答案代號填涂在機讀卡的相應位置。1.若向量的模為，則（）A． B． C． D．2.如圖所示，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在岸邊選定一點C，測得AC的距離為50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，則可計算出A、B兩點間離為（）A．B．C．D．3.等比數列的前項和為，，若，，成等差數列，則（）A．7 B．8 C．16 D．154．我們把1，3，6，10，15，這些數叫做三角形數，因為這些數目的點子可以排成一個正三角形（如下圖），1361015…則第七個三角形數是（）A．27 B．28 C．29 D．305．已知三內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數列，且，則（）A．B．C．D．6．在中，，則A的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知數列的前n項和為Sn，a1=1，當時，，則S2023=（）A．1005B．1006C．1007D．10088．已知是等比數列，，是關于的方程的兩根，且，則銳角的值為（）A．B．C．D．9．化簡的結果是（）A．B．C．D．10.數列滿足，若，則（）A．B． C． D．11．已知是等差數列，為其前n項和，若，O為坐標原點，點、，則（）A．2023B．4022C．0D．112．，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4個小題，每題4分，共16分。請將答案填在答題卷的相應位置。13．設數列的通項公式為，是數列的前項和，則當時，取得最大值。14.已知，則。15．若兩個等差數列、的前項和分別為、，對任意的都有，則=。16.已知一非零“向量數列”滿足：，（）。給出下列四個結論：①數列是等差數列；②；③設，數列的前n項和為，當且僅當n=2時，取得最大值；④記向量與的夾角為，則均有。其中所有正確結論的序號是。成都樹德中學高2023級第二期期中考試數學試題答題卷二、填空題：13．；14．；15．；16．。三、解答題：本大題共6個小題，共74分。解答必須寫出必要的文字說明或解答過程。17．（12分）已知為第二象限的角，，為第三象限的角，。求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值。18．（12分）設數列滿足，。（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令，求數列的前n項和。19．（12分）已知向量，。設函數。（Ⅰ）求函數的最大值及此時x的取值集合；（Ⅱ）在角A為銳角的中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且的面積為3，，求a的值。20．（12分）從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業。根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少。本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加。（Ⅰ）設n年內（本年度為第一年）總投入為萬元，旅游業總收入為萬元，寫出，的表達式；（Ⅱ）至少經過幾年旅游業的總收入才能超過總投入？21．（12分）已知函數，點、是函數圖象上的任意兩點，且線段的中點P的橫坐標為。（Ⅰ）求證：點P的縱坐標為定值；（Ⅱ）在數列中，若,,,,,,,，求數列的前項和。22．（14分）已知數列的前項和為,且。數列滿足()，且，。（Ⅰ）求數列，的通項公式；（Ⅱ）設，數列的前項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數的值；（Ⅲ）設，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。成都樹德中學高2023級第二期期中考試數學試題參考答案及評分標準一、選擇題：BADBCCBBB二、填空題：13．13；14.2；15．；16.②④。三、解答題17．解：（Ⅰ）因為為第二象限的角，，所以………1分………………………2分又，所以…………………4分（Ⅱ）因為為第三象限的角，，所以，……………6分又，…………10分所以…12分18．解：（Ⅰ）由已知，當時，。………………………4分而，所以數列的通項公式為…………6分（Ⅱ）由知……①從而………..②……………8分①-②得。………………10分即。…………12分19．解：（Ⅰ）…………4分令得，，此時的集合為……………6分（Ⅱ）由（I）可得。因為，所以。從而，………………8分又……………10分又，……………………12分20．解：（I）第1年投入為800萬元，第2年投入為萬元，…，第n年投入為萬元，所以，n年的總收入為……3分第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為萬元，…，第n年旅游業收人為萬元。所以，n年內的旅游業總收入為…6分（Ⅱ）設至少經過n年旅游業的總收入才能超過總投入，由此，，……………9分，，，。，。答：至少經過5年旅游業的總收入才能超過總投入。……………………12分21．（Ⅰ）證明：由題意，EQ\f(1,2)(x1＋x2)＝EQ\f(1,2)，所以x1＋x2＝1………1分此時y1＋y2＝EQ\f(1,4x1＋2)＋\f(1,4x2＋2)＝\f(4x1＋4x2＋4,(4x1＋2)(4x2＋2))=EQ\f(4x1＋4x2＋4,4x1＋x2＋2(4x1＋4x2)＋4)＝\f(4x1＋4x2＋4,2(4x1＋4x2＋4))＝\f(1,2)……………4分∴點P的縱坐標為定值EQ\f(1,4)。……………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當x1＋x2＝1時，y1＋y2＝EQ\f(1,2)。由P1、P2的任意性，且EQ\f(k,m)＋\f(m－k,m)＝1，有f(EQ\f(k,m))＋f(\f(m－k,m))＝\f(1,2)。…………………6分∵Sm＝a1＋a2＋……＋am＝f(EQ\f(1,m))＋f(\f(2,m))＋……＋f(\f(m－2,m))＋f(\f(m－1,m))＋f(1) ……①又Sm＝f(1)＋f(EQ\f(m－1,m))＋f(\f(m－2,m))＋……＋f(\f(2,m))＋f(\f(1,m))……②………………8分①＋②得：2Sm＝2f(1)＋[f(EQ\f(1,m))＋f(\f(m－1,m))]＋[f(\f(2,m))＋f(\f(m－2,2))]＋……＋[f(\f(m－1,m))＋f(\f(1,m))]……，且f(1)＝EQ\f(1,4＋2)＝\f(1,6)。………………10分∴2Sm＝EQ\f(1,3)＋\f(m－1,2)＝\f(1,6)(3m－1)。∴Sm＝EQ\f(1,12)(3m－1)。………12分22．解：（Ⅰ）當時,；當時,。而滿足上式。∴。又即，是