山西省忻州市陽明堡鎮堡內中學2021-2022學年高一數學理上學期期末試題含解析

山西省忻州市陽明堡鎮堡內中學2021-2022學年高一數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數，且，則實數的值為（

）A．－1

B．1

C.－1或1

D．－1或－3參考答案：C當時，由得，符合要求；當時，得，即的值為－1或1，故答案為C.

2.《九章算術》中有這樣一個問題：今有竹九節，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節容四升，下三節容二升，中三節容幾何？（）A.二升 B.三升 C.四升 D.五升參考答案：B【分析】由題意可得，上、中、下三節的容量成等差數列．再利用等差數列的性質，求出中三節容量，即可得到答案．【詳解】由題意，上、中、下三節的容量成等差數列，上三節容四升，下三節容二升，則中三節容量為，故選B．【點睛】本題主要考查了等差數列的性質的應用，其中解答中熟記等差數列的等差中項公式是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．3.過點P(2，1)且被圓C：x2＋y2–2x＋4y=0截得弦長最長的直線l的方程是（

）（A）3x–y–5=0

（B）3x＋y–7=0（C）x–3y＋5=0

（D）x＋3y–5=0參考答案：A略4.設曲線C的方程為（x﹣2）2+（y+1）2=9，直線l的方程x﹣3y+2=0，則曲線上的點到直線l的距離為的點的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】JA：圓與圓的位置關系及其判定．【分析】求出圓心坐標，利用圓心到直線的距離與條件之間的關系即可得到結論．【解答】解：由（x﹣2）2+（y+1）2=9，得圓心坐標為C（2，﹣1），半徑r=3，圓心到直線l的距離d=．∴要使曲線上的點到直線l的距離為，∴此時對應的點位于過圓心C的直徑上，故有兩個點．故選：B．【點評】本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，利用點到直線的距離公式是解決本題的關鍵．5.已知是第二象限角，則（

）A.是第一象限角 B.C. D.是第三或第四象限角參考答案：D【分析】由已知可求，，可得是第一象限或第三象限角，由已知可求，，可得是第三象限或第四象限角，逐項分析即可得解．【詳解】解：對于A，∵是第二象限角，∴，，∴，，∴是第一象限或第三象限角，故錯誤；對于B，由可知是第一象限或第三象限角，故錯誤；對于C，∵是第二象限角，∴，，∴是第三象限或第四象限角，，故錯誤；對于D，∵是第二象限角，∴，，∴，，∴是第三象限或第四象限角，故正確；故選：D．【點睛】本題主要考查了角在第幾象限的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意象限角定義的合理運用．6.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，則A∩B中元素的個數是（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C【分析】求出A∩B即得解.【詳解】由題得A∩B={2,3,4},所以A∩B中元素的個數是3.故選：C【點睛】本題主要考查集合的交集的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.7.設，則“”是“”的（

）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：D【分析】先化簡“”和“”，再利用充分必要條件的定義分析判斷得解.【詳解】由得，由得，所以“”不能推出“”，所以“”是“”的非充分條件；因為“”不能推出“”，所以“”是“”的非必要條件.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要條件的判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8.設集合S={}，在S上定義運算為：=Ak,其中k為i+j被4除的余數，i、j=0,1,2,3.滿足關系式的x(x∈S)的個數為（

）A.4

B.3

C.2

D.1參考答案：C略9.

參考答案：

D10.已知等比數列{an}的公比為q，且，數列{bn}滿足，若數列{bn}有連續四項在集合{－28,－19,－13,7,17,23}中，則q=（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由題可知數列的連續四項，從而可判斷，再分別列舉滿足符合條件的情況，從而得到公比.【詳解】因為數列有連續四項在集合中，，所以數列有連續四項在集合中，所以數列的連續四項不同號，即.因為，所以，按此要求在集合中取四個數排成數列，有-27，24，-18，8；-27，24，-12，8；-27，18，-12，8三種情況，因為-27，24，-12，8和-27，24，-18，8不是等比數列，所以數列的連續四項為-27，18，-12，8，所以數列的公比為.【點睛】本題主要考查等比數列的綜合應用，意在考查學生的分析能力，邏輯推理能力，分類討論能力，難度較大.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜，B={x∈R｜(x+1)(x-3)>0﹜則A∩B=

▲

．參考答案：12.已知向量，若，則=

．參考答案：20【考點】9R：平面向量數量積的運算．【分析】首先利用平行得到關于x的等式，求出x，得到的坐標，利用數量積公式得到所求．【解答】解：由，x﹣4=0．解得x=4，則=（3，4），=4×3+2×4=20；故答案為：20．13.（5分）無論實數a，b（ab≠0）取何值，直線ax+by+2a﹣3b=0恒過定點

．參考答案：（﹣2，3）考點： 恒過定點的直線．專題： 直線與圓．分析： 把已知直線變形為，然后求解兩直線x+2=0和y﹣3=0的交點得答案．解答： 由ax+by+2a﹣3b=0，得a（x+2）+b（y﹣3）=0，即，聯立，解得．∴直線ax+by+2a﹣3b=0恒過定點（﹣2，3）．故答案為：（﹣2，3）．點評： 本題考查了直線系方程，關鍵是掌握該類問題的求解方法，是基礎題．14.已知直線和直線平行，則的值為

▲

.

參考答案：15.若函數同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有

②對于定義域上的任意，當時，恒有，則稱函數為“理想函數”。給出下列四個函數中：⑴

⑵

（3），能被稱為“理想函數”的有__________（填相應的序號）參考答案：（3）略16.不等式解集為R，則取值集合

。

參考答案：17.＝

。參考答案：22三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設a，b均為正數，且a+b=1，（Ⅰ）求證：+≥4；（Ⅱ）求證：+≥22017．參考答案：【考點】不等式的證明；基本不等式．【分析】（Ⅰ）利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出．（Ⅱ）根據基本不等式進行證明即可．【解答】（Ⅰ）證明：∵a，b為兩個的正數，且a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2++≥2+2=4，當且僅當a=b=時取等號．而a≠b，∴+≥4；（Ⅱ）證明：∵a，b為兩個的正數，a+b=1，∴+≥2=2×（）1008=2×41008=22017，當且僅當a=b=時取等號．∴+≥22017．19.證明：函數在上是增函數（用定義證明）。參考答案：證明：

則

＝

從而函數在上是增函數20.（本小題滿分16分）某休閑農莊有一塊長方形魚塘ABCD，AB=50米，BC=米，為了便于游客休閑散步，該農莊決定在魚塘內建3條如圖所示的觀光走廊OE、EF和OF，考慮到整體規劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EOF=90°．(1)設∠BOE=，試將的周長表示成的函數關系式，并求出此函數的定義域；(2)經核算，三條走廊每米建設費用均為4000元，試問如何設計才能使建設總費用最低并求出最低總費用．參考答案：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25,∠B=90°，∠BOE=，∴OE=.在Rt△AOF中，OA=25,∠A=90°，∠AFO=，∴OF=.又∠EOF=90°，∴EF==,∴，即．當點F在點D時，這時角最小，求得此時=；當點E在C點時，這時角最大，求得此時=．故此函數的定義域為.(2)由題意知，要求建設總費用最低，只要求的周長的最小值即可.由（1）得，，設，則，∴由，，得，∴，從而，當，即BE=25時，,所以當BE=AF=25米時，鋪路總費用最低，最低總費用為元.21.（10分）如圖，在直三棱柱中，AB=1，，BC=2.(1)證明：；（2）求二面角A——B的余弦值。參考答案：(1)證明:由直棱柱的性質可得,∴∵在

∴

又∴

又∴(2)解:

由已知可得∴由（1）可得在等腰

在等腰又在為所