2023年陜西職業技術學院高職單招（數學）試題庫含答案解析

長風破浪會有時，直掛云帆濟滄海。住在富人區的她2023年陜西職業技術學院高職單招（數學）試題庫含答案解析（圖片大小可自由調整）全文為Word可編輯，若為PDF皆為盜版，請謹慎購買！第1卷一.綜合題(共50題)1.已知直線的參數方程為x=1+ty=3+2t.(t為參數)，圓的極坐標方程為ρ=2cosθ+4sinθ．

（I）求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；

（II）求直線被圓截得的弦長．答案：（I）直線的普通方程為：2x-y+1=0；圓的直角坐標方程為：（x-1）2+（y-2）2=5（4分）（II）圓心到直線的距離d=55，直線被圓截得的弦長L=2r2-d2=4305（10分）2.已知ａ＞０，且ａ≠１，解關于x的不等式：

答案：①當ａ＞1時，原不等式解為｛ｘ｜０＜ｘ≤ｌｏｇａ２②當０＜ａ＜１時，原不等式解為｛ｘ｜ｌｏｇａ２≤ｘ＜０解析：原不等式等價于原不等式同解于7分由①②得１＜ａｘ＜４，由③得從而1＜ａｘ≤２１０分①當ａ＞1時，原不等式解為｛ｘ｜０＜ｘ≤ｌｏｇａ２②當０＜ａ＜１時，原不等式解為｛ｘ｜ｌｏｇａ２≤ｘ＜０3.在研究打酣與患心臟病之間的關系中，通過收集數據、整理分析數據得“打酣與患心臟病有關”的結論，并且有99%以上的把握認為這個結論是成立的．下列說法中正確的是（）

A．100個心臟病患者中至少有99人打酣

B．1個人患心臟病，則這個人有99%的概率打酣

C．100個心臟病患者中一定有打酣的人

D．100個心臟病患者中可能一個打酣的人都沒有答案：D4.8的值為（）

A．2

B．4

C．6

D．8答案：B5.已知曲線C的參數方程為x=4t2y=t（t為參數），若點P（m，2）在曲線C上，則m=______．答案：因為曲線C的參數方程為x=4t2y=t（t為參數），消去參數t得：x=4y2；∵點P（m，2）在曲線C上，所以m=4×4=16．故為：16．6.已知三角形ABC的一個頂點A（2，3），AB邊上的高所在的直線方程為x-2y+3=0，角B的平分線所在的直線方程為x+y-4=0，求此三角形三邊所在的直線方程．答案：由題意可得AB邊的斜率為-2，由點斜式求得AB邊所在的直線方程為y-3=-2（x-2），即2x+y-7=0．由2x+y-7=0x+y-4=0

求得x=3y=1，故點B的坐標為（3，1）．設點A關于角B的平分線所在的直線方程為x+y-4=0的對稱點為M（a，b），則M在BC邊所在的直線上．則由b-3a-2=-1a+22+b+32-4=0

求得a=1b=2，故點M（1，2），由兩點式求得BC的方程為y-12-1=x-31-3，即x+2y-5=0．再由x-2y+3=0x+2y-5=0求得點C的坐標為（2，52），由此可得得AC的方程為x=2．7.已知四邊形ABCD，

點E、

F、

G、

H分別是AB、BC、CD、DA的中點，

求證：

EF=HG．答案：證明：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，∴HG=12AC，EF=12AC，∴EF=HG．8.如果一個圓錐的正視圖是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的表面積是______．答案：由已知，圓錐的底面直徑為2，母線為2，則這個圓錐的表面積是12×2π×2+π?12=3π．故：3π．9.已知a，b，c是空間的一個基底，且實數x，y，z使xa+yb+zc=0，則x2+y2+z2=______．答案：∵a，b，c是空間的一個基底∴a，b，c兩兩不共線∵xa+yb+zc=0∴x=y=z=0∴x2+y2+z2=0故為：010.過點P（0，-2）的雙曲線C的一個焦點與拋物線x2=-16y的焦點相同，則雙曲線C的標準方程是（）

A．

B．

C．

D．答案：C11.若回歸直線方程中的回歸系數b=0時，則相關系數r=______．答案：由于在回歸系數b的計算公式中，與相關指數的計算公式中，它們的分子相同，故為：0．12.若點M，A，B，C對空間任意一點O都滿足則這四個點（）

A．不共線

B．不共面

C．共線

D．共面答案：D13.若向量a、b的夾角為150°，|a|=3，|b|=4，則|2a+b|=______．答案：|2a+b|=(2a+b)2=4a2+b2+4a?b=12+16+4×3×4×cos150°=2．故為：214.如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F，G，H，則=（）

A．

B．

C．

D.

答案：C15.已知矩陣A=12-14，向量a=74．

（1）求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2；

（2）求A5α的值．答案：（1）矩陣A的特征多項式為f(λ)=.λ-1-21λ-4.=λ2-5λ+6，令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，當λ1=2時，得α1=21，當λ2=3時，得α2=11．（7分）（2）由α=mα1+nα2得2m+n=7m+n=4，得m=3，n=1．∴A5α=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2=3(λ51α1)+λ52α2=3×2521+3511=435339．（15分）16.4個人各寫一張賀年卡，集中后每人取一張別人的賀年卡，共有______種取法．答案：根據分類計數問題，可以列舉出所有的結果，1甲乙互換，丙丁互換2甲丙互換，乙丁互換3甲丁互換，乙丙互換4甲要乙的乙要丙的丙要丁的丁要甲的5甲要乙的乙要丁的丙要甲的丁要丙的6甲要丙的丙要乙的乙要丁的丁要甲的7甲要丙的丙要丁的乙要丁的丁要甲的8甲要丁的丁要乙的乙要丙的丙要甲的9甲要丁的丁要丙的乙要甲的丙要乙的通過列舉可以得到共有9種結果，故為：917.某次乒乓球比賽的決賽在甲乙兩名選手之間舉行，比賽采用五局三勝制，按以往比賽經驗，甲勝乙的概率為23．

（1）求比賽三局甲獲勝的概率；

（2）求甲獲勝的概率；

（3）設甲比賽的次數為X，求X的數學期望．答案：記甲n局獲勝的概率為Pn，n=3，4，5，（1）比賽三局甲獲勝的概率是：P3=C33(23)3=827；（2）比賽四局甲獲勝的概率是：P4=C23(23)3

(13)=827；比賽五局甲獲勝的概率是：P5=C24(13)2(23)3=1681；甲獲勝的概率是：P3+P4+P5=6481．（3）記乙n局獲勝的概率為Pn′，n=3，4，5．P3′=C33(13)3=127，P4′=C23(13)3

(23)=227；P5′=C24(13)3(23)2=881；故甲比賽次數的分布列為：X345P（X）P3+P3′P4+P4′P5+P5′所以甲比賽次數的數學期望是：EX=3（127+827）+4（827+227）+5（1681+881

）=10727．18.將直線y=x繞原點逆時針旋轉60°，所得直線的方程為（）

A．y=-x

B．

C．y=-3x

D．答案：A19.用反證法證明命題：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，則a，b，c，d中至少有一個負數”時的假設為（）

A．a，b，c，d中至少有一個正數

B．a，b，c，d全為正數

C．a，b，c，d全都大于等于0

D．a，b，c，d中至多有一個負數答案：C20.已知、分別是的外接圓和內切圓；證明：過上的任意一點，都可作一個三角形，使得、分別是的外接圓和內切圓．答案：略解析：證：如圖，設，分別是的外接圓和內切圓半徑，延長交于，則，，延長交于；則，即；過分別作的切線，在上，連，則平分，只要證，也與相切；設，則是的中點，連，則，，，所以，由于在角的平分線上，因此點是的內心，（這是由于，，而，所以，點是的內心）．即弦與相切．21.某學校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量ξ表示選出的志愿者中女生的人數，則數學期望Eξ______（結果用最簡分數表示）．答案：用隨機變量ξ表示選出的志愿者中女生的人數，ξ可取0，1，2，當ξ=0時，表示沒有選到女生；當ξ=1時，表示選到一個女生；當ξ=2時，表示選到2個女生，∴P（ξ=0）=C25C27=1021，P（ξ=1）=C15C12C27=1021，P（ξ=2）=C22C27=121，∴Eξ=0×1021+1×1021+2×121=47．故為：4722.圓心為（-2，3），且與y軸相切的圓的方程是（）A．x2+y2+4x-6y+9=0B．x2+y2+4x-6y+4=0C．x2+y2-4x+6y+9=0D．x2+y2-4x+6y+4=0答案：根據圓心坐標（-2，3）到y軸的距離d=|-2|=2，則所求圓的半徑r=d=2，所以圓的方程為：（x+2）2+（y-3）2=4，化為一般式方程得：x2+y2+4x-6y+9=0．故選A23.曲線x=sinθy=sin2θ（θ為參數）與直線y=a有兩個公共點，則實數a的取值范圍是______．答案：曲線

x=sinθy=sin2θ

（θ為參數），為拋物線段y=x2（-1≤x≤1），借助圖形直觀易得0＜a≤1．24.如圖，△PAB所在的平面α和梯形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若tan∠ADP+2tan∠BCP=10，則點P在平面α內的軌跡是（）A．圓的一部分B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分答案：由AD⊥α，可得AD⊥AP，tan∠ADP=APAD，四邊形ABCD是梯形，則AD∥BC，可得BC⊥α，BC⊥BP，則tan∠BCP=BPBC，又由tan∠ADP+2tan∠BCP=10，且AD=4，BC=8，可得AP+BP=40，又由AB=6，則AP+BP＞AB，故P在平面α內的軌跡是橢圓的一部分，故選B．25.函數f(x)=2，0＜x＜104，10≤x＜155，15≤x＜20，則函數的值域是（）A．[2，5]B．{2，4，5}C．（0，20）D．N答案：∵f(x)=20＜x＜10410≤x＜15515≤x＜20∴函數的值域是{2，4，5}故選B26.在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是（）

①若K2的觀測值滿足K2≥6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病；

②從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患病有關系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病；

③從統計量中得知有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現錯誤．

A．①

B．①③

C．③

D．②答案：C27.證明：已知a與b均為有理數，且a和b都是無理數，證明a+b也是無理數．答案：證明：假設a+b是有理數，則（a+b）（a-b）=a-b由a＞0，b＞0則a+b＞0即a+b≠0∴a-b=a-ba+b∵a，b?Q且a+b∈Q∴a-ba+b∈Q即（a-b）∈Q這樣（a+b）+（a-b）=2a∈Q從而a?Q（矛盾）∴a+b是無理數28.用反證法證明命題：“三角形三個內角至少有一個不大于60°”時，應假設______．答案：根據用反證法證明數學命題的方法和步驟，先把要證的結論進行否定，得到要證的結論的反面，而命題：“三角形三個內角至少有一個不大于60°”的否定為“三個內角都大于60°”，故為三個內角都大于60°．29.已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C是線段AB上一點，且，則C點的坐標為（）

A．

B．

C．

D．答案：C30.已知圓C：x2+y2-4x-6y+12=0的圓心在點C，點A（3，5），求：

（1）過點A的圓的切線方程；

（2）O點是坐標原點，連接OA，OC，求△AOC的面積S．答案：（1）⊙C：（x-2）2+（y-3）2=1．當切線的斜率不存在時，對直線x=3，C（2，3）到直線的距離為1，滿足條件；當k存在時，設直線y-5=k（x-3），即y=kx+5-3k，∴|-k+2|k2+1=1，得k=34．∴得直線方程x=3或y=34x+114．（2）|AO|=9+25=34，l：5x-3y=0，d=134，S=12d|AO|=12．31.“所有10的倍數都是5的倍數，某數是10的倍數，則該數是5的倍數，”上述推理（）

A．完全正確

B．推理形式不正確

C．錯誤，因為大小前提不一致

D．錯誤，因為大前提錯誤答案：A32.在四邊形ABCD中有AC=AB+AD，則它的形狀一定是______．答案：由向量加法的平行四邊形法則及AC=AB+AD，知四邊形ABCD為平行四邊形，故為：平行四邊形．33.已知向量a與b的夾角為π3，|a|=2，則a在b方向上的投影為______．答案：由投影的定義可得：a在b方向上的投影為：|a|cos＜a，b＞，而|a|cos＜a，b＞=2cosπ3=22故為：2234.某學校為了解高一男生的百米成績，隨機抽取了50人進行調查，如圖是這50名學生百米成績的頻率分布直方圖．根據該圖可以估計出全校高一男生中百米成績在[13，14]內的人數大約是140人，則高一共有男生______人．

答案：第三和第四個小矩形面積之和為（0.72+0.68）×0.5=0.7，即百米成績在[13，14]內的頻率為：0.7，因為根據該圖可以估計出全校高一男生中百米成績在[13，14]內的人數大約是140人，則高一共有男生1400.7=200人．故為：200．35.如圖，半徑為R的球O中有一內接圓柱．當圓柱的側面積最大時，球的表面積與該圓柱的側面積之差是______．

答案：設圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α，則r=Rcosα，圓柱的高為2Rsinα，圓柱的側面積為：2πR2sin2α，當且僅當α=π4時，sin2α=1，圓柱的側面積最大，圓柱的側面積為：2πR2，球的表面積為：4πR2，球的表面積與該圓柱的側面積之差是：2πR2．故為：2πR236.在△ABC中，DE∥BC，DE將△ABC分成面積相等的兩部分，那么DE：BC=（）

A．1：2

B．1：3

C．

D．1：1答案：C37.有一批機器，編號為1，2，3，…，112，為調查機器的質量問題，打算抽取10臺，問此樣本若采用簡單的隨機抽樣方法將如何獲得？答案：本題可以采用抽簽法來抽取樣本，首先把該校學生都編上號001，002，112…用抽簽法做112個形狀、大小相同的號簽，然后將這些號簽放到同一個箱子里，進行均勻攪拌，抽簽時，每次從中抽一個號簽，連續抽取10次，就得到一個容量為10的樣本．38.如圖，彎曲的河流是近似的拋物線C，公路l恰好是C的準線，C上的點O到l的距離最近，且為0.4千米，城鎮P位于點O的北偏東30°處，|OP|=10千米，現要在河岸邊的某處修建一座碼頭，并修建兩條公路，一條連接城鎮，一條垂直連接公路l，以便建立水陸交通網．

（1）建立適當的坐標系，求拋物線C的方程；

（2）為了降低修路成本，必須使修建的兩條公路總長最小，請給出修建方案（作出圖形，在圖中標出此時碼頭Q的位置），并求公路總長的最小值（精確到0.001千米）答案：（1）過點O作準線的垂線，垂足為A，以OA所在直線為x軸，OA的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系…（2分）由題意得，p2=0.4…（4分）所以，拋物線C：y2=1.6x…（6分）（2）設拋物線C的焦點為F由題意得，P(5，53)…（8分）根據拋物線的定義知，公路總長=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…（12分）當Q為線段PF與拋物線C的交點時，公路總長最小，最小值為9.806千米…（16分）39.用反證法證明“3是無理數”時，第一步應假設“______．”答案：反證法肯定題設而否定結論，從而得出矛盾，題設“3是無理數”，那么假設為：3是有理數．故為3是有理數．40.從⊙O外一點P引圓的兩條切線PA，PB及一條割線PCD，A、B為切點．求證：ACBC=ADBD．

答案：證明：∠CAP=∠ADP∠CPA=∠APD?△CAP∽△ADP?ACAD=APDP，①∠CBP=∠BDP∠CPB=∠BPD?△CBP∽△BDP?BCDB=BPDP，②又AP=BP，③由①②③知：ACAD=BCBD，故ACBC=ADBD．得證．41.某班從6名班干部（其中男生4人，女生2人）中選3人參加學校學生會的干部競選．

（1）設所選3人中女生人數為ξ，求ξ的分布列及數學期望；

（2）在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率．答案：（1）ξ的所有可能取值為0，1，2．依題意，得P(ξ=0)=C34C36=15，P(ξ=1)=C24C12C36=35，P(ξ=2)=C14C22C36=15．∴ξ的分布列為ξ012P153515∴Eξ=0×15+1×35+2×15=1．（2）設“男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中”為事件C，“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B從4個男生、2個女生中選3人，男生甲被選中的種數為n（A）=C52=10，男生甲被選中，女生乙也被選中的種數為n（AB）=C41=4，∴P(C)=n(AB)n(A)=C14C25=410=25故在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為25．42.在直徑為4的圓內接矩形中，最大的面積是（）

A．4

B．2

C．6

D．8答案：D43.已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0．

（1）m取何值時兩圓外切？

（2）m取何值時兩圓內切？

（3）當m=45時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．答案：（1）由已知可得兩個圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，兩圓的圓心距d=(5-1)2+(6-3)2=5，兩圓的半徑之和為11+61-m，由兩圓的半徑之和為11+61-m=5，可得m=25+1011．（2）由兩圓的圓心距d=(5-1)2+(6-3)2=5等于兩圓的半徑之差為|11-61-m|，即|11-61-m|=5，可得

11-61-m=5（舍去），或

11-61-m=-5，解得m=25-1011．（3）當m=45時，兩圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，把兩個圓的方程相減，可得公共弦所在的直線方程為4x+3y-23=0．第一個圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線的距離為d=|4+9-23|5=2，可得弦長為211-4=27．44.在平面直角坐標系中，經伸縮變換后曲線方程變換為橢圓方程，此伸縮變換公式是（

）A．B．C．D．答案：B解析：解：因為在平面直角坐標系中，經伸縮變換后曲線方程變換為橢圓方程，設變換為，將其代入方程中，得到x，y的關系式，對應相等可知,選B45.過拋物線y2=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線（）

A．有且僅有一條

B．有且僅有兩條

C．有無窮多條

D．不存在答案：B46.設曲線C的方程是，將C沿x軸，y軸正向分別平移單位長度后，得到曲線C1.（1）寫出曲線C1的方程；（2）證明曲線C與C1關于點A（，）對稱.答案：（1）（2）證明略解析：（1）由已知得，，則平移公式是即代入方程得曲線C1的方程是(2)在曲線C上任取一點,設是關于點A的對稱點，則有，，代入曲線C的方程，得關于的方程，即可知點在曲線C1上.反過來，同樣可以證明，在曲線C1上的點關于點A的對稱點在曲線C上，因此，曲線C與C1關于點A對稱.47.若圖中的直線l1，l2，l3的斜率為k1，k2，k3則（）

A．k1＜k2＜k3

B．k3＜k1＜k2

C．k2＜k1＜k3

D．k3＜k2＜k1

答案：C48.已知D是△ABC所在平面內一點，，則（）

A．

B．

C．=

D．答案：A49.（選修4-4：坐標系與參數方程）

在直角坐標系xoy中，直線l的參數方程為x=3-22ty=5+22t（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=25sinθ．

（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；

（Ⅱ）設圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標為(3，5)，求|PA|+|PB|．答案：（Ⅰ）∵圓C的方程為ρ=25sinθ．∴x2+y2-25y=0，即圓C的直角坐標方程：x2+(y-5)2=5．（Ⅱ）(3-22t)2+(22t)2=5，即t2-32t+4=0，由于△=(32)2-4×4=2＞0，故可設t1，t2是上述方程的兩實根，所以t1+t2=32t1t2=4，又直線l過點P(3，5)，故|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3250.已知A，B兩點的極坐標為(6，)和(8，)，則線段AB中點的直角坐標為（）

A．(，-)

B．(-，)

C．(，-)

D．(-，-)答案：D第2卷一.綜合題(共50題)1.已知集合A={0，1，2}，集合B={x|x=2a，a∈A}，則A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{1，4}答案：B={0，2，4}，∴A∩B={0，2}，故選C2.若關于x，y的二元一次方程組m11mxy=m+12m至多有一組解，則實數m的取值范圍是______．答案：關于x，y的二元一次方程組m11mxy=m+12m即二元一次方程組mx+y=m+1①x+my=2m②①×m-②得（m2-1）x=m（m-1）當m-1≠0時（m2-1）x=m（m-1）至多有一組解∴m≠1故為：（-∞，1）∪（1，+∞）3.設函數f（x）的定義域為R，如果對任意的實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=1，那么f（3）=______．答案：對任意的實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=1，∴f（2）=2f（1）=1∴f(1)=12那么f（3）=f（2）+f（1）=1=12=32故為：324.對總數為N的一批零件抽取一個容量為30的樣本，若每個零件被抽取的概率為0.25，則N等于（）A．150B．200C．120D．100答案：∵每個零件被抽取的概率都相等，∴30N=0.25，∴N=120．故選C．5.雙曲線x29-y216=1的兩個焦點為F1、F2，點P在雙曲線上，若PF1⊥PF2，則點P到x軸的距離為______．答案：設點P（x，y），∵F1（-5，0）、F2（5，0），PF1⊥PF2，∴y-0x+5?y-0x-5=-1，∴x2+y2=25

①，又x29-y216=1，∴25-y29-y216=1，∴y2=16225，∴|y|=165，∴P到x軸的距離是165．6.已知l∥α，且l的方向向量為（2，-8，1），平面α的法向量為（1，y，2），則y=______．答案：∵l∥α，∴l的方向向量（2，-8，1）與平面α的法向量（1，y，2）垂直，∴2×1-8×y+2=0，解得y=12．故為12．7.為了了解某地母親身高x與女兒身高y的相關關系，隨機測得10對母女的身高如下表所示：

母親身高x（cm）159160160163159154159158159157女兒身高y（cm）158159160161161155162157162156計算x與y的相關系數r=0.71，通過查表得r的臨界值r0.05=______，從而有______的把握認為x與y之間具有線性相關關系，因而求回歸直線方程是有意義的．通過計算得到回歸直線方程為y=35.2+0.78x，當母親身高每增加1cm時，女兒身高______，當母親的身高為161cm時，估計女兒的身高為______cm．答案：查對臨界值表，由臨界值r0.05=0.632，可得有95%的把握認為x與Y之間具有線性相關關系，回歸直線方程為y=35.2+0.78x，因此，當母親身高每增加1cm時，女兒身高0.78，當x=161cm時，y=35.2+0.78x=35.2+0.78×161≈161cm故為：0.632，95%，0.78，161cm．8.執行如圖所示的程序框圖，輸出的M的值為（）

A．17

B．53

C．161

D．485

答案：C9.在△ABC中，“A=45°”是“sinA=22”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：當A=45°時，sinA=22成立．若當A=135°時，滿足sinA=22．所以，“A=45°”是“sinA=22”的充分不必要條件．故選A．10.求證：菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上．答案：已知：如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O．求證：菱形ABCD各邊中點M、N、P、Q在以O為圓心的同一個圓上．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足為O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，∴OM=ON=OP=OQ=12AB，∴M、N、P、Q四點在以O為圓心OM為半徑的圓上．所以菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上．11.(本小題滿分12分)

如圖，已知橢圓C1的中心在圓點O，長軸左、右端點M、N在x軸上，橢圓C1的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點，與C1交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A、B、C、D.

（I）設e=，求|BC|與|AD|的比值；

（II）當e變化時，是否存在直線l，使得BO//AN,并說明理由.答案：（II）t=0時的l不符合題意，t≠0時，BO//AN當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即，解得。因為，又，所以，解得。所以當時，不存在直線l，使得BO//AN；當時，存在直線l使得BO//AN。解析：略12.如圖為一個求50個數的平均數的程序，在橫線上應填充的語句為（）

A．i＞50

B．i＜50

C．i＞=50

D．i＜=50

答案：A13.若隨機變量X～B(5，12)，那么P（X≤1）=______．答案：P（X≤1）=C06(12)0(12)6+C16(12)1(12)5=316故為：31614.α為第一象限角是sinαcosα＞0的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：若α為第一象限角，則sinα＞0，cosα＞0，所以sinαcosα＞0，成立．若sinαcosα＞0，則①sinα＞0，cosα＞0，此時α為第一象限角．或②sinα＜0，cosα＜0，此時α為第三象限角．所以α為第一象限角是sinαcosα＞0的充分不必要條件．故選A．15.請寫出所給三視圖表示的簡單組合體由哪些幾何體組成．______．答案：由已知中的三視圖我們可以判斷出該幾何體是由一個底面面積相等的圓錐和圓柱組合而成故為：圓柱體，圓錐體16.若雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為（）

A．5

B．

C．2

D．答案：B17.設計一個計算1×3×5×7×9×11×13的算法．圖中給出了程序的一部分，則在橫線①上不能填入的數是（）

A．13

B．13.5

C．14

D．14.5答案：A18.如圖把橢圓x225+y216=1的長軸AB分成8分，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，…P7七個點，F是橢圓的一個焦點，則|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=______．答案：如圖，把橢圓x225+y216=1的長軸AB分成8等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七個點，F是橢圓的一個焦點，則根據橢圓的對稱性知，|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a，同理其余兩對的和也是2a，又|P4F1|=a，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35，故為35．19.若a>0，b>0，則不等式－b＜aA．＜x＜0或0＜x＜

答案：D解析：試題分析：20.（上海卷理3文8）動點P到點F（2，0）的距離與它到直線x+2=0的距離相等，則P的軌跡方程為______．答案：由拋物線的定義知點P的軌跡是以F為焦點的拋物線，其開口方向向右，且p2=2，解得p=4，所以其方程為y2=8x．故為y2=8x21.橢圓x2+my2=1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為______．答案：方程x2+my2=1變為x2+y21m=1∵焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，∴1m=2，解得m=14故應填1422.設a=lg2+lg5，b=ex（x＜0），則a與b的大小關系是？答案：a═lg2+lg5=lg10=1又b=ex，由指數函數的性質知，當x＜0時，0＜b＜1∴a＞b23.（選修4-4：坐標系與參數方程）

在直角坐標系xoy中，直線l的參數方程為x=3-22ty=5+22t（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=25sinθ．

（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；

（Ⅱ）設圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標為(3，5)，求|PA|+|PB|．答案：（Ⅰ）∵圓C的方程為ρ=25sinθ．∴x2+y2-25y=0，即圓C的直角坐標方程：x2+(y-5)2=5．（Ⅱ）(3-22t)2+(22t)2=5，即t2-32t+4=0，由于△=(32)2-4×4=2＞0，故可設t1，t2是上述方程的兩實根，所以t1+t2=32t1t2=4，又直線l過點P(3，5)，故|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3224.如果e1，e2是平面a內所有向量的一組基底，那么（）A．若實數λ1，λ2使λ1e1+λ2e2=0，則λ1=λ2=0B．空間任一向量可以表示為a=λ1e1+λ2e2，這里λ1，λ2∈RC．對實數λ1，λ2，λ1e1+λ2e2不一定在平面a內D．對平面a中的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的實數λ1，λ2有無數對答案：∵由基底的定義可知，e1和e2是平面上不共線的兩個向量，∴實數λ1，λ2使λ1e1+λ2e2=0，則λ1=λ2=0，不是空間任一向量都可以表示為a=λ1e1+λ2e2，而是平面a中的任一向量a，可以表示為a=λ1e1+λ2e2的形式，此時實數λ1，λ2有且只有一對，而對實數λ1，λ2，λ1e1+λ2e2一定在平面a內，故選A．25.為研究變量x和y的線性相關性，甲、乙二人分別作了研究，利用線性回歸方法得到回歸直線方程l1和l2，兩人計算知.x相同，.y也相同，下列正確的是（）A．l1與l2一定重合B．l1與l2一定平行C．l1與l2相交于點（.x，.y）D．無法判斷l1和l2是否相交答案：∵兩個人在試驗中發現對變量x的觀測數據的平均值都是s，對變量y的觀測數據的平均值都是t，∴兩組數據的樣本中心點是（.x，.y）∵回歸直線經過樣本的中心點，∴l1和l2都過（.x，.y）．故選C．26.已知A（-1，2），B（2，-2），則直線AB的斜率是（）

A．

B．

C．

D．答案：A27.函數y=a|x|（a＞1）的圖象是（）

A．

B．

C．

D．

答案：B28.一個樣本a，99，b，101，c中五個數恰成等差數列，則這個樣本的極差與標準差分別為（

）。答案：4；29.某班有40名學生，其中有15人是共青團員．現將全班分成4個小組，第一組有學生10人，共青團員4人，從該班任選一個學生代表．在選到的學生代表是共青團員的條件下，他又是第一組學生的概率為（）A．415B．514C．14D．34答案：由于所有的共青團員共有15人，而第一小組有4人是共青團員，故在選到的學生代表是共青團員的條件下，他又是第一組學生的概率為415，故選A．30.已知當m∈R時，函數f（x）=m（x2-1）+x-a的圖象和x軸恒有公共點，求實數a的取值范圍．答案：（1）m=0時，f（x）=x-a是一次函數，它的圖象恒與x軸相交，此時a∈R．（2）m≠0時，由題意知，方程mx2+x-（m+a）=0恒有實數解，其充要條件是△=1+4m（m+a）=4m2+4am+1≥0．又只需△′=（4a）2-16≤0，解得-1≤a≤1，即a∈[-1，1]．∴m=0時，a∈R；m≠0時，a∈[-1，1]．31.如圖，過點P作⊙O的割線PAB與切線PE，E為切點，連接AE、BE，∠APE的平分線分別與AE、BE相交于點C、D，若∠AEB=30°，則∠PCE=______．答案：如圖，PE是圓的切線，∴∠PEB=∠PAC，∵AE是∠APE的平分線，∴∠EPC=∠APC，根據三角形的外角與內角關系有：∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，∴∠EDC=∠ECD，∴△EDC為等腰三角形，又∠AEB=30°，∴∠EDC=∠ECD=75°，即∠PCE=75°，故為：75°．32.在市場上供應的燈泡中，甲廠產品占70%，乙廠占30%，甲廠產品的合格率是95%，乙廠的合格率是80%，則從市場上買到一個甲廠生產的合格燈泡的概率是______．答案：由題意知本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，∵甲廠產品占70%，甲廠產品的合格率是95%，∴從市場上買到一個甲廠生產的合格燈泡的概率是0.7×0.95=0.665故為：0.66533.下列函數圖象中，正確的是（）

A．

B．

C．

D．

答案：C34.在極坐標系中，曲線p=4cos（θ-π3)上任意兩點間的距離的最大值為______．答案：將原極坐標方程p=4cos（θ-π3)，化為：ρ=2cosθ+23sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+23ρsinθ，化成直角坐標方程為：x2+y2-2x-23y=0，是一個半徑為2圓．圓上兩點間的距離的最大值即為圓的直徑，故填：4．35.已知A（4，1，3）、B（2，-5，1），C為線段AB上一點，且則C的坐標為（）

A．

B．

C．

D．答案：C36.直線y=kx+1與橢圓x29+y24=1的位置關系是（）A．相交B．相切C．相離D．不確定答案：∵直線y=kx+1過定點（0，1），把（0，1）代入橢圓方程的左端有0+14＜1，即（0，1）在橢圓內部，∴直線y=kx+1與橢圓x29+y24=1必相交，

因此可排除B、C、D；

故選A．37.將兩個數a=8，b=17交換，使a=17，b=8，下面語句正確一組是（）

A．a=bb=a

B．c=b

b=a

a=c

C．b=aa=b

D．a=cc=bb=a答案：B38.已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0．

（1）m取何值時兩圓外切？

（2）m取何值時兩圓內切？

（3）當m=45時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．答案：（1）由已知可得兩個圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，兩圓的圓心距d=(5-1)2+(6-3)2=5，兩圓的半徑之和為11+61-m，由兩圓的半徑之和為11+61-m=5，可得m=25+1011．（2）由兩圓的圓心距d=(5-1)2+(6-3)2=5等于兩圓的半徑之差為|11-61-m|，即|11-61-m|=5，可得

11-61-m=5（舍去），或

11-61-m=-5，解得m=25-1011．（3）當m=45時，兩圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，把兩個圓的方程相減，可得公共弦所在的直線方程為4x+3y-23=0．第一個圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線的距離為d=|4+9-23|5=2，可得弦長為211-4=27．39.探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點，已知燈口直徑是60

cm，燈深40

cm，則光源到反射鏡頂點的距離是

______cm．答案：設拋物線方程為y2=2px（p＞0），點（40，30）在拋物線y2=2px上，∴900=2p×40．∴p=454．∴p2=458．因此，光源到反射鏡頂點的距離為458cm．40.設P點在x軸上，Q點在y軸上，PQ的中點是M（-1，2），則|PQ|等于______．答案：設P（a，0），Q（0，b），∵PQ的中點是M（-1，2），∴由中點坐標公式得a+02=-10+b2=2，解之得a=-2b=4，因此可得P（-2，0），Q（0，4），∴|PQ|=(-2-0)2+(0-4)2=25．故為：2541.設f（x）=ex(x≤0)ln

x(x＞0)，則f[f（13）]=______．答案：因為f（x）=ex(x≤0)ln

x(x＞0)，所以f（13）=ln13＜0，所以f[f（13）]=f（ln13）=eln13=13，故為13．42.（文）不等式的解集是（

）A．B．C．D．答案：D解析：【思路分析】：原不等式可化為，得，故選D.【命題分析】考查不等式的解法，要求同解變形.43.如圖是一幾何體的三視圖，正視圖是一等腰直角三角形，且斜邊BD長為2；側視圖一直角三角形；俯視圖為一直角梯形，且AB=BC=1，則異面直線PB與CD所成角的正切值是（）A．1B．2C．12D．12答案：取AD的中點E，連接BE，PE，CE，根據題意可知BE∥CD，∴∠PBE為異面直線PB與CD所成角根據條件知，PE=1，BE=2，PE⊥BE∴tan∠PBE=12故選C．44.直線x=1和函數y=f（x）的圖象的公共點的個數為______．答案：由函數定義知當函數在x=1處有定義時，直線x=1和函數y=f（x）的圖象的公共點的個數為1，若函數在x=1處有無定義時，直線x=1和函數y=f（x）的圖象的公共點的個數為0故線x=1和函數y=f（x）的圖象的公共點的個數為0或1故為0或145.在邊長為1的正方形中，有一個封閉曲線圍成的陰影區域，在正方形中隨機的撒入100粒豆子，恰有60粒落在陰影區域內，那么陰影區域的面積為______．

答案：設陰影部分的面積為x，由概率的幾何概型知，則60100=x1，解得x=35．故為：35．46.在復平面內，復數z=sin2+icos2對應的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：∵sin2＞0，cos2＜0，∴z=sin2+icos2對應的點在第四象限，故選D．47.在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，AB+AD=λAO，則λ=______．答案：∵四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC與BD交于點O，∴AB+AD=AC，又O為AC的中點，∴AC=2AO，∴AB+AD=2AO，∵AB+AD=λAO，∴λ=2．故為：2．48.已知當拋物線型拱橋的頂點距水面2米時，量得水面寬8米．當水面升高1米后，水面寬度是______米．答案：由題意，建立如圖所示的坐標系，拋物線的開口向下，設拋物線的標準方程為x2=-2py（p＞0）∵頂點距水面2米時，量得水面寬8米∴點（4，-2）在拋物線上，代入方程得，p=4∴x2=-8y當水面升高1米后，y=-1代入方程得：x=±22∴水面寬度是42米故為：4249.點P（2，5）關于直線x+y=1的對稱點的坐標是（

）。答案：(-4，-1)50.已知a≠0，證明關于x的方程ax=b有且只有一個根．答案：證明：一方面，∵ax=b，且a≠0，方程兩邊同除以a得：x=ba，∴方程ax=b有一個根x=ba，另一方面，假設方程ax=b還有一個根x0且x0≠ba，則由此不等式兩邊同乘以a得ax0≠b，這與假設矛盾，故方程ax=b只有一個根．綜上所述，方程ax=b有且只有一個根．第3卷一.綜合題(共50題)1.如圖，在等邊△ABC中，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，連接AD，則∠DAC的度數為

______度．答案：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC；又∵△ABC是等邊三角形，∴DA平分∠BAC，即∠DAC=12∠BAC=30°．故為：30．2.若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0（a＞0）的公共弦的長為23，則a=______．答案：由已知x2+y2+2ay-6=0的半徑為6+a2，由圖可知6+a2-(-a-1)2=(3)2，解之得a=1．故為：1．3.若直線

3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心，則a的值為（）

A．-1

B．1

C．3

D．-3答案：B4.已知集合A={2，x，y}，B={2x，y2，2}且x，y≠0，若A=B，則實數x+y的值______．答案：因為集合A={2，x，y}，B={2x，y2，2}且x，y≠0，所以x=y2y=2x，解得x=14y=12，所以x+y=34．故為：34．5.如圖所示，已知A、B、C三點不共線，O為平面ABC外的一點，若點M滿足

(1)判斷三個向量是否共面；

(2)判斷點M是否在平面ABC內．答案：解：(1)由已知，得，∴向量共面．(2)由(1)知向量共面，三個向量的基線又有公共點M,∴M、A、B、C共面，即點M在平面ABC內，6.如圖，在平行四邊形OABC中，點C（1，3）．

（1）求OC所在直線的斜率；

（2）過點C做CD⊥AB于點D，求CD所在直線的方程．答案：（1）∵點O（0，0），點C（1，3），∴OC所在直線的斜率為kOC=3-01-0=3．（2）在平行四邊形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直線的斜率為kCD=-13．∴CD所在直線方程為y-3=-13(x-1)，即x+3y-10=0．7.直線l與拋物線y2=2x相交于A、B兩點，O為拋物線的頂點，若OA⊥OB．證明：直線l過定點．答案：證明：設點A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）（I）當直線l有存在斜率時，設直線方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．（2分）聯立方程得：y=kx+by2=2x消去y得k2x2+（2kb-2）x+b2=0由題意：x1x2=b2k2，&

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=2bk（5分）又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，（7分）即b2k2+2bk=0，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）故直線l的方程為：y=kx-2k=k（x-2），故直線過定點（2，0）（11分）（II）當直線l不存在斜率時，設它的方程為x=m，顯然m＞0聯立方程得：x=my2=2x解得y=±2m，即y1y2=-2m又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即m2-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2可知直線l方程為：x=2，故直線過定點（2，0）綜合（1）（2）可知，滿足條件的直線過定點（2，0）．8.已知z=1+i，則|z|=______．答案：由z=1+i，所以|z|=12+12=2．故為2．9.半徑為5，圓心在y軸上，且與直線y=6相切的圓的方程為______．答案：如圖所示，因為半徑為5，圓心在y軸上，且與直線y=6相切，所以可知有兩個圓，上圓圓心為（0，11），下圓圓心為（0，1），所以圓的方程為x2+（y-1）2=25或x2+（y-11）2=25．10.a=0是復數a+bi（a，b∈R）為純虛數的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件答案：當a=0時，復數a+bi=bi，當b=0是不是純虛數即“a=0”成立推不出“復數a+bi（a，b∈R）為純虛數”反之，當復數a+bi（a，b∈R）為純虛數，則有a=0且b≠0即“復數a+bi（a，b∈R）為純虛數”成立能推出“a=0“成立故a=0是復數a+bi（a，b∈R）為純虛數的必要不充分條件故選B11.甲、乙兩人破譯一種密碼，它們能破譯的概率分別為和，求：

（1）恰有一人能破譯的概率；（2）至多有一人破譯的概率；

（3）若要破譯出的概率為不小于，至少需要多少甲這樣的人？答案：（1）（2）（3）至少需4個甲這樣的人才能滿足題意.解析：（1）設A為“甲能譯出”，B為“乙能譯出”，則A、B互相獨立，從而A與、與B、與均相互獨立.“恰有一人能譯出”為事件，又與互斥，則（2）“至多一人能譯出”的事件，且、、互斥，∴（3）設至少需要n個甲這樣的人，而n個甲這樣的人譯不出的概率為，∴n個甲這樣的人能譯出的概率為，由∴至少需4個甲這樣的人才能滿足題意.12.如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若AP=5，PC=3，DP=5，則AB=______．

答案：∵AP=5，PC=3，DP=5由相交弦定理可得：BP=35又∵AB為直徑，∴∠ACB=90°∴BC=PB2-PC2=6∴AB=AC2-BC2=10故為：1013.平面內有兩個定點F1（-5，0）和F2（5，0），動點P滿足條件|PF1|-|PF2|=6，則動點P的軌跡方程是（）A．x216-y29=1（x≤-4）B．x29-y216=1（x≤-3）C．x216-y29=1（x＞≥4）D．x29-y216=1（x≥3）答案：由|PF1|-|PF2|=6＜|F1F2|知，點P的軌跡是以F1、F2為焦點的雙曲線右支，得c=5，2a=6，∴a=3，∴b2=16，故動點P的軌跡方程是x29-y216=1（x≥3）．故選D．14.若函數y=f（x）的定義域是[12，2]，則函數y=f（log2x）的定義域為______．答案：由題意知12≤log2x≤2，即log22≤log2x≤log24，∴2≤x≤4．故為：[2，4]．15.已知橢圓的短軸長等于2，長軸端點與短軸端點間的距離等于5，則此橢圓的標準方程是______．答案：由題意可得2b=2a2+b2=(5)2，解得b=1a=2．故橢圓的標準方程是x24+y2=1或y24+x2=1．故為x24+y2=1或y24+x2=1．16.H：x-y+z=2為坐標空間中一平面，L為平面H上的一直線．已知點P（2，1，1）為L上距離原點O最近的點，則______為L的方向向量．答案：∵x-y+z=2為坐標空間中一平面∴平面的一個法向量是n=(1，-1，1)設直線L的方向向量為d=(2，b，c)∵L在H上，∴d與平面H的法向量n=(1，-1，1)垂直故d?n=0?2-b+c=0∵P（2，1，1）為直線L上距離原點O最近的點，∴.OP⊥L故OP?d=0?(2，1，1)?(2，b，c)=0?4+b+c=0解得b=-1，c=-3故為：（2，-1，-3）17.（理）已知函數f(x)=sinπxx∈[0，1]log2011xx∈(1，+∞)若滿足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），則a+b+c的取值范圍是______．答案：作出函數的圖象如圖，直線y=y0交函數圖象于如圖，由正弦曲線的對稱性，可得A（a，y0）與B（b，y0）關于直線x=12對稱，因此a+b=1當直線線y=y0向上平移時，經過點（2011，1）時圖象兩個圖象恰有兩個公共點（A、B重合）所以0＜y0＜1時，兩個圖象有三個公共點，此時滿足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），說明1＜c＜2011，因此可得a+b+c∈（2，2012）故為（2，2012）18.設四邊形ABCD中，有且，則這個四邊形是（）

A．平行四邊形

B．矩形

C．等腰梯形

D．菱形答案：C19.過點P（3，0）作一直線，它夾在兩條直線l1：2x-y-3=0，l2：x+y+3=0之間的線段恰被點P平分，該直線的方程是（）

A．4x-y-6=0

B．3x+2y-7=0

C．5x-y-15=0

D．5x+y-15=0答案：C20.小李在一旅游景區附近租下一個小店面賣紀念品和T恤，由于經營條件限制，他最多進50件T恤和30件紀念品，他至少需要T恤和紀念品40件才能維持經營，已知進貨價為T恤每件36元，紀念品每件50元，現在他有2400元可進貨，假設每件T恤的利潤是18元，每件紀念品的利潤是20元，問怎樣進貨才能使他的利潤最大，最大利潤為多少？答案：設進T恤x件，紀念品y件，可得利潤為z元，由題意得x、y滿足的約束條件為：

0≤x≤50

0≤y≤30

x+y≥4036x+48y≤2400，且x、y∈N*目標函數z=18x+20y約束條件的可行域如圖所示：五邊形ABCDE的各個頂點坐標分別為：A（40，0），B（50，0），C（50，252），D（803，30），E（10，30），當直線l：z=18x+20y經過C（50，252）時取最大值，∵x，y必為整數，∴當x=50，y=12時，z取最大值即進50件T恤，12件紀念品時，可獲最大利潤，最大利潤為1140元．21.已知兩曲線參數方程分別為x=5cosθy=sinθ（0≤θ＜π）和x=54t2y=t（t∈R），它們的交點坐標為______．答案：曲線參數方程x=5cosθy=sinθ（0≤θ＜π）的直角坐標方程為：x25+y2=1；曲線x=54t2y=t（t∈R）的普通方程為：y2=45x；解方程組：x25+y2=1y2=45x得：x=1y=255∴它們的交點坐標為（1，255）．故為：（1，255）．22.從一批含有13只正品，2只次品的產品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，設抽得次品數為X，則E（5X+1）=______．答案：由題意，X的取值為0，1，2，則P（X=0）=1315×1214×1113=2235；P（X=1）=215×1314×1213+1315×214×1213+1315×1214×213=1235P（X=2）=1315×214×113+215×1314×113+215×114×1313=135所以期望E（X）=0×2235+1×1235+2×135=1435，所以E（5X+1）=1435×5+1=3故為3．23.“因為指數函數y=ax是增函數（大前提），而y=（）x是指數函數（小前提），所以y=（）x是增函數（結論）”，上面推理的錯誤是（）

A．大前提錯導致結論錯

B．小前提錯導致結論錯

C．推理形式錯導致結論錯

D．大前提和小前提錯都導致結論錯答案：A24.為求方程x5-1=0的虛根，可以把原方程變形為（x-1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=0，由此可得原方程的一個虛根為______．答案：由題可知（x-1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=（x-1）[x4+（a+b）x3+（2+ab）x2+（a+b）x+1]比較系數可得a+b=1ab+2=1，∴a=1+52，b=1-52∴原方程的一個虛根為-1-5±10-25i4，-1+5±10+25i4中的一個故為：-1-5+10-25i4．25.已知關于的不等式的解集為，且，求的值答案：，，解析：用數形結合法，如圖顯然解集是，即，從而此時=與交點橫坐標為5，從而縱坐標為4，將交點坐標代入可得所以，，26.設a1，a2，…，an為正數，證明a1+a2+…+ann≥n1a1+1a2+…+1an．答案：證明：∵a1，a2，…，an為正數，∴要證明a1+a2+…+ann≥n1a1+1a2+…+1an，只要證明（a1+a2+…+an）（1a1+1a2+…1an）≥n2∵a1+a2+…+an≥nna1a2…an，1a1+1a2+…1an≥nn1a1a2…an∴兩式相乘，可得（a1+a2+…+an）（1a1+1a2+…1an）≥n2∴原不等式成立．27.對于函數f（x），在使f（x）≤M成立的所有常數M中，我們把M的最小值稱為函數f（x）的“上確界”則函數f（x）=(x+1)2x2+1的上確界為（）A．14B．12C．2D．4答案：因為f（x）=(x+1)2x2+1=x2+2x+1x2+1=1+2xx2+1又因為x2+1=|x|2+1≥2|x|≥2x∴2xx2+1≤1．∴f（x）≤2．即在使f（x）≤M成立的所有常數M中，M的最小值為2．故選C．28.若圓臺的上下底面半徑分別是1和3，它的側面積是兩底面面積和的2倍，則圓臺的母線長是（）A．2B．2.5C．5D．10答案：設母線長為l，則S側=π（1+3）l=4πl．S上底+S下底=π?12+π?32=10π．據題意4πl=20π即l=5，故選C．29.為提高廣東中小學生的健康素質和體能水平，廣東省教育廳要求廣東各級各類中小學每年都要在體育教學中實施“體能素質測試”，測試總成績滿分為100分．根據廣東省標準，體能素質測試成績在[85，100]之間為優秀；在[75，85]之間為良好；在[65，75]之間為合格；在（0，60）之間，體能素質為不合格．

現從佛山市某校高一年級的900名學生中隨機抽取30名學生的測試成績如下：

65，84，76，70，56，81，87，83，91，75，81，88，80，82，93，85，90，77，86，81，83，82，82，64，79，86，68，71，89，96．

（1）在答題卷上完成頻率分布表和頻率分布直方圖，并估計該校高一年級體能素質為優秀的學生人數；

（2）在上述抽取的30名學生中任取2名，設ξ為體能素質為優秀的學生人數，求ξ的分布列和數學期望（結果用分數表示）；

（3）請你依據所給數據和上述廣東省標準，對該校高一學生的體能素質給出一個簡短評價．答案：（1）由已知的數據可得頻率分布表和頻率分布直方圖如下：

分組

頻數

頻率[55，60）

1

130[60，65）

1

130[65，70）

2

230[70，75）

2

230[75，80）

4

430[80，85）

10

1030[85，90）

6

630[90，95）

3

330[95，100）

1

130根據抽樣，估計該校高一學生中體能素質為優秀的有1030×900=300人

…（5分）（2）ξ的可能取值為0，1，2．…（6分）P（ξ=0）=C220C230=3887，P（ξ=1）=C120C110C230=4087，P（ξ=2）=C210C230=987

…（8分）∴ξ分布列為：ξ012P38874087987…（9分）所以，數學期望Eξ=0×3887+1×4087+2×987=5887=23．…（10分）（3）根據抽樣，估計該校高一學生中體能素質為優秀有1030×900=300人，占總人數的13，體能素質為良好的有1430×900=420人，占總人數的715，體能素質為優秀或良好的共有2430×900=720人，占總人數的45，但體能素質為不合格或僅為合格的共有630×900=180人，占總人數的15，說明該校高一學生體能素質良好，但仍有待進一步提高，還需積極參加體育鍛煉．30.設空間兩個不同的單位向量

a=(x1，y1，0)，

b=(x2，y2，0)與向量

c=(1，1，1)的夾角都等于45°．

（1）求x1+y1和x1y1的值；

（2）求＜

a，

b＞的大小．答案：（1）∵單位向量a=(x1，y1，0)與向量c=(1，1，1)的夾角等于45°∴|a|=x21+y21=1，cos45°=a?

c|a|?

|c|=13（x1+y1）=22∴x1+y1=62，x1?y1=-14（2）同理可知x2+y2=22，x2?y2=-14∴x1?x2=-14，y1?y2=-14cos＜a，b＞=a?b|a|?|b|=x1?x2+y1?y2=-12∴＜a，b＞=120°31.某次乒乓球比賽的決賽在甲乙兩名選手之間舉行，比賽采用五局三勝制，按以往比賽經驗，甲勝乙的概率為23．

（1）求比賽三局甲獲勝的概率；

（2）求甲獲勝的概率；

（3）設甲比賽的次數為X，求X的數學期望．答案：記甲n局獲勝的概率為Pn，n=3，4，5，（1）比賽三局甲獲勝的概率是：P3=C33(23)3=827；（2）比賽四局甲獲勝的概率是：P4=C23(23)3

(13)=827；比賽五局甲獲勝的概率是：P5=C24(13)2(23)3=1681；甲獲勝的概率是：P3+P4+P5=6481．（3）記乙n局獲勝的概率為Pn′，n=3，4，5．P3′=C33(13)3=127，P4′=C23(13)3

(23)=227；P5′=C24(13)3(23)2=881；故甲比賽次數的分布列為：X345P（X）P3+P3′P4+P4′P5+P5′所以甲比賽次數的數學期望是：EX=3（127+827）+4（827+227）+5（1681+881

）=10727．32.某廠2011年的產值為a萬元，預計產值每年以7%的速度增加，則該廠到2022年的產值為______萬元．答案：2011年產值為a，增長率為7%，2012年產值為a+a×7%=a（1+7%），2013年產值為a（1+7%）+a（1+7%）×7%=a（1+7%）2，…，2022年的產值為a（1+7%）1