空間向量運算教案

第一課時3.1.1空間向量線性運算

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：理解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何法和字母表示方法；會

用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律；能用空間向量

的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題.

過程與方法：通過類比平面向量，引入空間向量的相關(guān)知識，體會由特殊到一般、

由低維到高維的思想方法，體驗概念的形成過程。通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，培養(yǎng)空

間想象能力與類比推理的能力。

情感態(tài)度價值觀:體驗概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生合作探究的精神，提高學(xué)生數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

教學(xué)重點：空間向量的加減與數(shù)乘運算及運算律.

教學(xué)難點：由平面向量類比學(xué)習(xí)空間向量，并應(yīng)用解決立體幾何中的問題

教學(xué)過程：

一、知識梳理

(一)選擇題(每道題的四個選擇答案中有且只有一個答案是正確的)

1.化簡麗一麗+訴=()

A.而B.麗C.6D.MN

2.已知向量25,2,則下列等式中錯誤的是()

A.4+(/?+c)=(a+/?)+cB.a-(b-c)=(a-b)+c

,—?一,——*—?—?—?—?—?——?

C.(a-b)c-(a-b-c)=()D.(。-6)+c-(a-b+c)=0

3.在空間四邊形ABC。中，M,G分別是8GCO的中點，則贏+g(而+萬2)等

于()

A.ADB.GAC.AGD.MG

4.在正方體ABCO-AiSGd中，以其頂點為始點和終點的向量中與AC共線的有

個.()

A.0B.IC.2D.3

二、復(fù)習(xí)引入

1、向量的定義是：既有大小乂有方向的量叫向量

如何表示：用有向線段表示；用字母口、B等表示

用有向線段的起點與終點字母：AB.

相等向量：長度相等且方向相同的向量

2.向量的加減以及數(shù)爽向量運算:

(1)向量的加法:(2)向量的減法:

(3)實數(shù)與向量的積：實數(shù)兀與向量2的積是一個向量，記作22,

其長度和方向規(guī)定如下：\Xa\=W\a\當(dāng)2>0時，23與刁同向；

當(dāng)一V0時,一與2反向;

當(dāng)2=0II寸，22=0.

3.向量的運算運算律；加法交換律：5+方=3+5

加法結(jié)合律：伍+b)+c=a+(b+c);

數(shù)乘分配律：A(a+b}=Xa+Ab；

數(shù)乘結(jié)合律:A(ua)=(Au)ci.

4、零向量：5、共線向量：

二、新課講授

(一)概念形成：

1、定義：我們把空間中具有大小和方向的量叫做空間向量.向量的大小叫做向

量的長度或模.

一舉例？表示？(用有向線段表示)記法？

f零向量？單位向量？相反向量？

討論：相等向量？同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量.

討論：空間任意兩個向量是否共面？

2.空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向

量的運算一樣：

013=0A+AB=d+3,

AB=OB-OA(指向被減向量),

OP=Aa(請學(xué)生說說數(shù)乘運算的定

義？)

3.空間向量的加法與數(shù)乘向量的運算律.

⑴加法交換律：G+B=b+a；

⑵加法結(jié)合律：(。+b)+c=a+(b+c)；

⑶數(shù)乘分配律：A(a+b)=Aa+Ab;

⑶數(shù)乘結(jié)合律：A(ua)=(Au)a.

4.推廣：

⑴M+AA,+…+4-4=A4；

(2)A4+&A+AA+.+44+44=0；

⑶空間平行四邊形法則.

5.共線向量

與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重

合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.3平行于B記作2//立

(二)、典例探究:

例1：已知平行六面體(底面是平行四邊形的四

棱柱)ABCD-A'B'C'D'(如圖)，化簡下列向量表

達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量：

(1)A8+BC；

(2)AB+AD+AA'；

(3)A8+AD+；CC';

(4)；(A8+A￡>+A4)

練習(xí)1如圖，在三棱柱ABC-AMG中，M是防的中點,

化簡下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量：

(1)CB+;

—*-*1----*

(2)AC+CB+-AA.;

21

(3)AA.-AC-CB

解：(1)CB+BA^CA,

..I..

(2)AC+CB+-AA,=AM

(3)而一而_而=互

練習(xí)2：在空間四邊形ABCD中，點M、G分別是BC、CD邊的中點，化簡

（1）7B+-（BC+BB）

2

（2）AG-^（AB+AC）

例2:已知平行六面體ABCD-AiBiJDi，求滿足下列各式

的X的值。

(1)AB1+A0+C1C=xAC

(2)2AD,-BD,=xAC,

(3)AC+AB]+AD}=xAC,

練習(xí)3：在立方體ACi中，點E是面AC1的中心，求下

列各式中的x,y.

⑴AC，=x（