小學數學五年級上冊奧數追及問題知識清單

小學數學五年級上冊奧數追及問題知識清單

一、追及問題的核心概念與基本數量關系

追及問題是研究兩個或多個物體在同一直線或封閉圖形上運動，由于速度差異而導致一個物體從后面追上另一個物體的數學問題。其核心在于研究“速度差”、“初始距離差”與“追及時間”之間的內在聯系。在五年級上冊的奧數體系中，追及問題是行程問題的重要分支，它建立在學生對速度、時間、路程三者關系熟練掌握的基礎之上，是培養學生模型意識和邏輯推理能力的關鍵載體。解決追及問題的關鍵在于理解“在相同時間內，速度快的物體比速度慢的物體多走的路程，恰好等于它們起始時刻的路程差”。這個核心關系構成了所有追及問題公式推導的基石。

【基礎概念】

1、路程：物體運動所經過的路徑長度，單位通常為米或千米。

2、速度：單位時間內物體所經過的路程，它描述了物體運動的快慢。在追及問題中，速度是核心變量。

3、時間：物體運動所持續的時間。

4、路程差：在追及問題開始的那一刻，兩個物體之間的距離。這是追及發生的先決條件，也稱為“追及距離”。

5、速度差：兩個物體在單位時間內，速度較快物體比速度較慢物體多走的路程。這是追及能夠完成的動力來源。

6、追及時間：從追及開始到追及成功（即快者追上慢者）所經過的時間。

【核心數量關系】

追及問題的靈魂公式可以表述為：

路程差=速度差×追及時間

這個基本關系式可以衍生出另外兩個重要的變形公式：

速度差=路程差÷追及時間

追及時間=路程差÷速度差

【★重要】理解這個公式的由來至關重要：快者每秒比慢者多走一個“速度差”，那么要彌補初始的“路程差”，就需要多少個這樣的“速度差”秒，這個秒數就是追及時間。這一邏輯鏈條是解決一切追及問題的第一性原理。教師應引導學生脫離機械記憶，通過畫線段圖、模擬運動等方式，深刻內化“多走的路程等于路程差”這一本質。

二、追及問題的基本類型與模型建構

追及問題的表現形式多樣，但根據運動場景和已知條件的不同，可以歸納為幾種基本模型。掌握這些模型，能夠幫助學生快速識別問題類型，并調用相應的解題策略。

（一）直線型追及問題

這是最基礎、最常見的追及問題。兩個物體在一條直線上同向而行。

1、同時不同地：兩個物體在同一時刻開始運動，但起始位置不同。快者在后面，慢者在前面。它們之間的初始距離就是路程差。

【考向分析】這類問題通常直接給出或可以間接求出兩者的速度以及初始距離，直接套用公式“追及時間=路程差÷速度差”即可求解。

【高頻考點】求追及時間、求速度（其中一個物體的速度）、求初始距離。

【例題思維】小明和小紅相距1000米，兩人同時從各自家出發向同一方向前進。小明每分鐘走80米，小紅每分鐘走60米。小明幾分鐘后能追上小紅？

分析：路程差為1000米，速度差為80-60=20米/分。追及時間=1000÷20=50分鐘。

2、同地不同時：兩個物體從同一地點出發，但出發時間不同。慢者先出發，快者后出發。慢者先走的那段路程，就成為了快者出發時與慢者之間的路程差。

【考向分析】解決此類問題的關鍵一步是求出“路程差”，即慢者先走的路程。路程差=慢者速度×先行時間。之后的問題就轉化為“同時不同地”的模型。

【易錯點】學生容易忽略先走的時間，直接計算兩者的速度差去追及全程。必須強調先走的距離就是需要彌補的差距。

【解答要點】第一步：計算路程差；第二步：計算速度差；第三步：計算追及時間。

【例題思維】甲、乙兩人從學校去書店。乙先出發，走了10分鐘后甲才出發。乙每分鐘走50米，甲每分鐘走70米。甲出發后多久能追上乙？

分析：路程差為乙先走的50×10=500米。速度差為70-50=20米/分。追及時間=500÷20=25分鐘。

3、追及點問題：這類問題不直接給出路程差，而是通過描述追上的地點來隱含路程差的信息。例如，快者在中點處、或在距離終點某處追上慢者。

【難點】需要結合線段圖，分析快者和慢者所走路程之間的關系，往往涉及到全長、中點等概念，對學生的幾何直觀和代數思維要求較高。

【解題步驟】畫線段圖，標注出追及點。分析快者比慢者多走的路程具體是多少。這個多走的路程往往不是顯性給出的，而是需要根據“中點”等條件推導出來。

（二）環形跑道追及問題

在圓形、橢圓形或方形等封閉環形跑道上的追及問題，其本質與直線型不同，但又緊密聯系。這里的“路程差”被賦予了新的含義。

1、從同一地點同向出發：這是環形跑道中最典型的追及模型。兩人從同一點出發，沿著同一方向跑步。速度快的人第一次追上速度慢的人時，他比速度慢的人多跑了一圈。

【核心原理】第一次追上，路程差=跑道一圈的長度。

【重要推論】從同一點出發，每追上一次，快者就比慢者多跑一圈。第n次追上，快者就比慢者多跑了n圈。

【考向分析】已知兩人速度和跑道長度，求第一次追及時間。或者已知追及時間和速度，求跑道長度。

【高頻考點】計算第一次相遇時間；計算第幾次相遇時跑的路程；已知相遇時間求速度。

【例題思維】一條環形跑道長400米，小強和小軍同時從起點出發，同向而行。小強每秒跑6米，小軍每秒跑4米。小強第一次追上小軍時，兩人各跑了多少米？

分析：路程差為400米（一圈），速度差為6-4=2米/秒，追及時間=400÷2=200秒。此時小強跑了6×200=1200米，小軍跑了4×200=800米。

2、從不同地點同向出發：兩人起點不同，本身就存在一段初始距離。快者要追上慢者，需要彌補的“路程差”就是兩人初始的距離。

【特別注意】在環形跑道中，初始距離的確定有兩種情況：一種是以運動方向為準，計算從慢者位置到快者位置沿前進方向的弧線距離；另一種是直接給出的相距距離。此時的路程差就是這個初始距離，而不是一圈的長度。

【易錯點】學生容易混淆“從同一地點”和“從不同地點”的公式，總是錯誤地用一圈長度作為路程差。

3、反向而行中的追及問題本質：雖然反向而行是相遇問題，但當兩人反向而行后，再改變方向同向追及，這類綜合題是更高層次的考查。它要求學生能分清不同階段的不同運動關系。

（三）變速與有干擾因素的追及問題

在基礎追及問題上進行拓展，引入速度變化、休息、停留、風向、水流等外部因素。

1、中途休息問題：慢者在途中休息或快者在途中休息，會導致實際運動時間與總時間不符。

【解題策略】將休息時間轉化為“路程損失”或“追及難度增加”。通常需要用假設法，假設沒有休息，計算出應走的路程，再與實際路程比較。

【難點】如何正確處理休息期間兩者位置的變化。需要分段考慮，或者利用整體思想，將休息視為速度為0的特殊運動階段。

2、速度變化問題：追及過程中，一方或雙方速度發生改變。

【解題策略】關鍵在于找到速度變化的節點，將整個運動過程劃分為若干段勻速運動的過程。在每個分段內，追及問題的基本公式依然成立。需要仔細分析速度變化前后，路程差的變化。

【考點】分段計算、尋找等量關系列方程是解決這類問題的有效方法。

3、帶有往返的追及問題：兩人在兩地之間往返運動，這往往與多次相遇問題相結合。追及可能發生在同向而行的某一階段。

【思維進階】需要借助柳卡圖或多次分段畫圖，動態追蹤每個時刻兩人的位置，尋找符合“追及”條件的時刻。

三、追及問題的標準解題步驟與策略

面對一道追及問題，遵循一套嚴謹的解題流程，可以有效提升解題的正確率，尤其是在面對復雜問題時不至于迷失方向。

第一步：審題與建模【非常重要】

仔細閱讀題目，明確以下幾個關鍵要素：

1、運動物體：有幾個物體在運動？

2、運動狀態：是同時出發還是先后出發？是直線運動還是環形運動？是勻速運動還是變速運動？

3、已知數據：分別找出每個物體的速度、出發時間、出發地點。

4、未知所求：題目要求我們求解的是什么？是時間、路程還是速度？

5、初步判斷類型：根據以上信息，初步判定這屬于哪一類追及問題。

第二步：畫圖與標注【★核心技能】

無論題目難易，養成畫線段圖的習慣是解決行程問題的金鑰匙。

1、畫直線：用一條直線或一個封閉曲線表示運動路徑。

2、標起點：在圖上清晰標出不同物體的出發位置和出發時間。如果是不同時出發，可以用虛線表示先走的路程。

3、標方向：用箭頭標出各自的運動方向。

4、標已知數據：將已知的速度、距離、時間等數據標注在圖的相應位置上。

5、標未知：將要求的量設為未知數x，或用一個問號標出。

圖形使抽象的數量關系變得直觀可見，特別是路程差的產生和彌補過程一目了然。

第三步：尋找等量關系

這是解題的核心環節。根據畫出的圖形，思考：在追上的那一刻，快者和慢者所走的路程之間存在著怎樣的等量關系？

1、基本等量關系：快者走的路程-慢者走的路程=初始路程差（在直線型中）。

2、環形等量關系：快者走的路程-慢者走的路程=n×跑道一圈的長度（n為追上次數）。

3、或：快者走的路程=慢者走的路程+初始路程差。

第四步：列式與計算

根據找到的等量關系和基本公式，列出算式。可以直接套用公式，也可以列方程求解。

1、公式法：如果題目條件直接對應公式中的三個量（路程差、速度差、追及時間）中的兩個，可以直接計算第三個。

2、方程法：當題目條件復雜，特別是涉及變速、變向、多人時，列方程（組）是更穩妥的策略。設追及時間為x，根據等量關系列出方程。例如：快者速度×x=慢者速度×x+初始路程差。

第五步：檢驗與作答

計算出結果后，要進行簡單的檢驗。

1、合理性檢驗：時間是否為非負數？路程是否符合常理？（例如，在環形跑道中，求出的時間是否能保證快者確實多跑了一圈或多跑了幾圈？）

2、代入原題檢驗：將求得的結果代入題目描述的情境中，看是否符合所有條件。最后，清晰、完整地寫出答案。

四、追及問題的常見易錯點與避坑指南

在學習和考試中，學生在追及問題上常常出現一些典型的錯誤。識別并理解這些易錯點，是通向滿分的必經之路。

【易錯點一】對路程差判斷失誤

這是追及問題中最常見、也是最致命的錯誤。

1、混淆“相距距離”與“路程差”：在環形跑道上從不同點出發，有的題目會直接給出“兩人相距100米”。但這個100米未必就是追及所需的路程差。如果快者在后面追慢者，這個100米就是路程差；如果快者在前面，慢者在后面，那么快者要追上慢者，需要先跑完一圈減去100米。必須結合運動方向來判斷。

2、忽略“先行路程”：在同地不同時問題中，忘記計算慢者先走的路程，直接用總路程作為路程差。

3、錯誤計算“追上時的路程差”：例如，在直線中點追及問題中，錯誤地認為快者比慢者多走的路程是全長的一半，而實際上需要根據追及點具體分析。

【易錯點二】單位不統一

速度的單位是“米/秒”或“千米/時”，時間單位是“秒”或“時”，路程單位是“米”或“千米”。在列式計算前，必須將所有數據的單位統一。例如，速度是米/分，時間是小時，就需要將小時轉化為分鐘，或者將速度轉化為米/時。

【易錯點三】環形跑道問題中的“圈數”概念不清

1、第n次追上與第n次相遇混淆：“追上”是同向而行的結果，“相遇”是反向而行的結果。

2、多跑圈數理解不清：對于從同一地點出發，第一次追上多跑一圈，第二次追上再多跑一圈，總共多跑兩圈。但有的學生會錯誤地認為第二次追上時多跑的還是只有一圈。

【易錯點四】運動過程分析不全

在多人或多階段的追及問題中，學生往往只關注了整體，忽略了中間過程。例如，甲先追乙，甲追上乙后返回，又與丙相遇等。必須一步一步地分析，不能跳躍。

【解答要點與避坑策略】

1、勤畫圖：把抽象的文字轉化為直觀的圖形，是避免一切判斷失誤的根本方法。

2、標注時間點：對于不同時出發的問題，在圖上標注出快者出發的時刻，此時慢者已經到達的位置，這個位置差就是初始路程差。

3、統一單位：解題前，第一時間檢查并統一所有物理量的單位。

4、分步列式：不要試圖用一個超級復雜的綜合算式解決問題。多使用分步算式，每一步都有明確的物理意義，既清晰又不易出錯。

5、回代檢驗：求出答案后，將答案代入題目，模擬整個運動過程，看是否自洽。

五、追及問題與其他知識模塊的綜合應用

作為奧數體系中的核心內容，追及問題很少孤立存在，它常常與分數、百分數、比例、方程、幾何初步知識等結合在一起進行綜合考查。

（一）與分數、百分數結合

題目中的速度、路程或時間會以分數或百分數的形式給出。

【考向】已知甲的速度比乙的速度快幾分之幾，或甲行完全程的時間比乙少百分之幾，再結合追及問題求解。

【解題策略】通常需要將分數或百分數轉化為比例，利用比例思想來解題。例如，若甲的速度比乙的速度快1/5，則甲、乙的速度比為6:5。在時間相同的情況下，路程比等于速度比。在路程相同的情況下，時間比等于速度的反比。利用這些比例關系，可以巧妙地繞開具體數值，直接通過份數來解題。

【例題思維】客車和貨車同時從A、B兩地相對開出，相遇后繼續前進，當客車到達B地時，貨車距離A地還有全程的1/4。已知客車比貨車每小時快15千米，求A、B兩地的距離。這雖然是相遇問題與分數問題的結合，但其背后蘊含的速度差與路程差的關系，與追及問題的思想是相通的。

（二）與比例問題結合

用比例來解追及問題是一種非常高階的數學思維，尤其在處理變速問題或已知路程比、時間比的問題時，顯示出極大的優越性。

【核心原理】當速度一定時，路程與時間成正比例；當時間一定時，路程與速度成正比例；當路程一定時，速度與時間成反比例。

【解題策略】在追及問題中，從開始到追上的這段時間，對于快者和慢者是“時間相同”的。因此，他們在這段時間內所走的路程比，就等于他們的速度比。如果知道他們的速度比，又知道他們的路程差（即初始路程差），就可以按比例分配求出各自走的路程。

【高頻考點】利用速度比求路程比，或利用路程比求速度比。

（三）與列方程解應用題結合

方程是解決復雜追及問題的萬能工具。

【重要性】對于包含變速、變向、多人參與等復雜因素的問題，算術方法往往頭緒繁雜，難以直接列式。此時，列方程解應用題的優勢就凸顯出來。它通過設未知數，將題目中隱藏的等量關系直接翻譯成數學方程，極大地簡化了思維過程。

【常見題型】

1、求速度：設其中一個物體的速度為x，根據追及時間或路程差的關系列出方程。

2、求路程：設兩地距離為x，根據追及過程或相遇與追及相結合的關系列出方程。

3、求時間：設追及時間為x，這是最直接的方程應用。

（四）與幾何初步知識結合

在涉及正方形、長方形等幾何圖形的邊長、周長的行程問題中，追及問題與幾何知識相結合。

【解題策略】首先要清楚幾何圖形的特點，例如沿著正方形花壇走一圈的周長是多少，或者沿著長方形跑道的長邊和寬邊行走時速度與方向的關系。這類問題本質還是行程問題，只是運動路徑是幾何圖形。

六、追及問題中的高階思維與思想方法

頂尖的復習不僅僅停留在會做題，更要提煉出解決問題背后的數學思想，以應對未來更復雜的學習挑戰。

（一）轉化與化歸思想

這是解決所有數學問題的核心思想。在追及問題中，我們始終在實踐這一思想：

1、將“不同地”轉化為“同地”：通過計算先行路程，把不同地出發的問題轉化為同時不同地的問題。

2、將“環形”轉化為“直線”：第一次追及問題，可以將環形跑道“剪開”，拉直成一條直線，此時一圈的長度就變成了直線上的路程差。

3、將“變速”轉化為“勻速”：通過分段，將變速運動分解為多個勻速運動的階段。

學生需要有意識地培養這種將未知問題轉化為已知模型的能力。

（二）方程思想

方程思想是代數思維的萌芽。它讓我們從“正向求解”的算術思維，轉向“設未知數列等式”的代數思維。在復雜追及問題中，方程思想讓“找關系”變成了“翻譯句子”，大大降低了思維難度。它是連接小學算術與初中代數的橋梁，【非常重要】。

（三）函數與對應思想

雖然五年級不涉及函數概念，但追及問題中已經蘊含了函數思想的雛形。例如，在速度差固定的情況下，追及時間與路程差是成正比例的關系。讓學生體會到，當一個量變化時，另一個量也隨著有規律地變化，這種變量之間的依賴關系就是函數思想的萌芽。

（四）數形結合思想

畫線段圖是數形結合思想的最直觀體現。它將抽象的數量關系（數）與直觀的空間圖形（形）結合起來，以形助數，以數解形。這是貫穿整個中小學數學學習的重要思想方法，【★重要性極高】。解決任何追及問題，都應首先想到畫圖。

（五）模型意識

追及問題是數學建模的典型案例。從現實生活中的跑步、行車、追趕等現象中，抽象出“路程差、速度差、時間”這三個核心要素，并建立“路程差=速度差×時間”這個數學模型。當學生掌握了這個模型，就能用它來解釋和解決生活中大量的同向運動問題。

七、追及問題考點、考向與題型預測

在五年級上冊的各類測評中，追及問題通常是區分度較高的一類題目。了解其考查方式，有助于進行有針對性的復習。

【高頻考點】

1、直接套用公式計算：求追及時間、求速度差、求路程差。這是所有考查的基礎，要求公式熟練、計算準確。

2、同地不同時的追及問題：必考題型之一，重點在于正確計算先行路程。

3、環形跑道上的第一次追及問題：重點考查對“路程差是一圈”的理解。

4、線段圖輔助解題：很多題目會直接要求“根據題意畫出線段圖再解答”，這是對解題過程和思維方法的考查。

5、列方程解復雜的追及問題：當題目條件較多或關系復雜時，列方程是首選的解題策略。

【常見題型與考向】

1、基礎計算題：直接給出兩個速度和初始距離，求追及時間；或給出追及時間和路程差，求其中一個速度。

2、文字應用題：結合生活情境，如上學追同學、警察追小偷、快車追慢車等，考查學生從實際問題中抽象出數學模型的能力。

3、圖表信息題：給出兩人運動的圖像（如路程-時間圖），要求學生從圖中讀取速度、追及點等信息。這【熱點】趨勢，考查學生的信息獲取和處理能力。

4、開放探究題：給出一個追及情境，但條件不完整，要求學生自己添加條件并解答；或者提出“在什么情況下快者永遠追不上慢者”等問題，考查思維的嚴密性。

5、綜合實踐題：將追及問題與測量、估算等實踐活動結合，例如，讓學生設計一個方案，測量自己和同伴走路的速度，并計算在什么位置能追上對方。

【考查方式】

1、填空、選擇：考查基本概念和簡單計算。

2、解答題：考查完整的解題過程，要求有步驟、有圖示、有說明。這是最主要的考查方式。

3、操作題：要求畫出運動示意圖。

4、說理題：要求學生解釋某一現象或結論背后的追及原理。

八、經典追及問題解析與思維拓展

通過對一些經典題目的剖析，可以更深刻地理解追及問題的精髓。

【經典例題1】基礎直線型

甲、乙兩輛汽車同時從A、B兩地相向開出，甲車每小時行60千米，乙車每小時行48千米，兩車在距中點30千米處相遇。求A、B兩地相距多少千米？

【解析】此題是相遇問題，但其核心思想與追及相通。兩車在距中點30千米處相遇，說明甲車比乙車多走了兩個30千米，即60千米。這正是甲車比乙車多走的路程，也就是路程差。速度差為60-48=12千米/時。所以相遇時間為60÷12=5小時。兩地距離為(60+48)×5=540千米。

【思維拓展】此題的關鍵是理解“距中點30千米相遇”與“路程差”之間的轉化。這是數形結合思想的絕佳體現。

【經典例題2】環形追及變式

在300米的環形跑道上，甲、乙兩人同時同地同向起跑。甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米。兩人起跑后的第一次相遇地點在起跑線前多少米？

【解析】第一次相遇即甲第一次追上乙。路程差為300米，速度差為5-4.4=0.6米/秒，追及時間=300÷0.6=500秒。此時甲跑的路程=5×500=2500米。2500÷300=8（圈）……100（米）。所以第一次相遇地點在起跑線前100米。

【思維拓展】問題不僅要求追及時間，還要求具體位置。這需要將總路程轉化為圈數和余數，考查了周期思想。

【經典例題3】變速與方程結合

小明從家去學校，如果每分鐘走50米，則要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，則比上課時間提前2分鐘到校。小明家到學校的距離是多少米？

【解析】這是典型的盈虧問題與行程問題的結合，本質是在路程一定的情況下，速度與時間的反比關系。可以設小明從家到學校的準確上課時間為x分鐘。根據兩種走法，家到學校的距離是不變的，列方程：

50×(x+3)=60×(x-2)

50x+150=60x-120

270=10x

x=27（分鐘）

距離=50×(27+3)=50×30=1500米。

【思維拓展】此題雖然并非標準的追及問題，但其中涉及的“遲到時間”和“提前時間”本質上可以看作是兩種速度下，在標準時間內所走路程與總路程的路程差。它很好地訓練了