考研數(shù)學(xué)二（線(xiàn)性方程組）模擬試卷20

考研數(shù)學(xué)二(線(xiàn)性方程組)模擬試卷20

一、選擇題(本題共9題，每題L0分，共9分。)

1、非齊次線(xiàn)性方程組Ax二b中，系數(shù)矩陣A和增廣矩陣的秩都等于4,A是4x6

矩陣，則()

A、無(wú)法確定方程組是否有解。

B、方程組有無(wú)窮多解。

C、方程組有唯一解。

D、方程組無(wú)解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：由于非齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同是方程組有解

的充要條件，旦方程組的未知數(shù)個(gè)數(shù)是6,而系數(shù)矩陣的秩為4,因此方程組有無(wú)

窮多解，故選B。

2、設(shè)A是mxn矩陣，B是nxm矩陣，則線(xiàn)性方程組(AB)x=0()

A、當(dāng)n>m時(shí),僅有零解。

B、當(dāng)n>m時(shí),必有非零解。

C^當(dāng)m>n時(shí),僅有零解。

D、當(dāng)m>n時(shí),必有非零解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)锳B是m階矩陣,且r(AB)Wmin/(A),r(B)}<min{m,n),所以

當(dāng)m>n時(shí)，必有r(AB)Vm,根據(jù)齊次方程組存在非零解的充分必要條件可知，

選項(xiàng)D正確。

3、已知四，是非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，那么四一2a2，4al—

X41一.3一

3a2，(2a1+(X2)，44中，仍是線(xiàn)性方程組Ax二b特解的共有()

A、4個(gè)

個(gè)

B、3

個(gè)

C、2

個(gè)

D、1

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：由于A(yíng)ai=b,Aa2=b,那么A(4ai—3a2)=4Aai—3Aa2=b,

▲(13\1.3.13

a

A’-4ra,+:4-a/I=4+7442=＞可知4ai—3a2，~4T\+V4%均是Ax=b

1A1

的解。而A(a]—2a2)=一b,A[4(2cq+。2[=4b。可知ai—2a2，(2oq+a2)不是

Ax二b的解。故應(yīng)選C。

air

1a1

4、設(shè)A=L1。」，方程組Ax=O有非零解。a是一個(gè)三維非零列向量，若Ax=O

的任一解向量都可由a線(xiàn)性表出，則a=()

A、lo

B、一2o

C、1或一2。

D、-1<>

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：由于A(yíng)x=O的任一解向量都可由a線(xiàn)性表出，所以a是Ax=O的基礎(chǔ)

解系，即Ax=O的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量，因此r(A)=2。由方程組Ax=O有非零

解可得，IAI=(a—l)2(a+2)=O,即a=l或一2。=a=l時(shí)，r(A)=l,舍去；當(dāng)a二

一2時(shí),r(A)=2o所以選B。

5、設(shè)A是秩為。一1的n階矩陣，ai，a2是方程組Ax=O的兩個(gè)不同的解向量，

則Ax=O的通解必定是()

A^aj+a2o

B、kan

C、k(a1+(x2)。

D、k(aj一。2)。

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳是秩為n—1的凡階矩陣，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)非

零向量。又因?yàn)閍i，(X2是方程組Ax=0的兩個(gè)不同的解向量，所以ai—az必為方

程組Ax=O的一個(gè)非零解，即四一a2是Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以Ax=0的通解

必定是k(a]一a2)。選D。此題中其他選項(xiàng)不一定正確。因?yàn)橥ń庵斜赜腥我獬?/p>

數(shù)，所以選項(xiàng)A不正確；若兇=0,則選項(xiàng)B不正確；若a尸一。2,0,則

ai+a2=0,此時(shí)選項(xiàng)C不正確。

6、設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A'#),若小，及，小，0是非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b

的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組Ax=O的基礎(chǔ)解系()

A、不存在。

B、僅含一個(gè)非零解向量。

C、含有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量。

D、含有三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量。

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：由A*翔可知，A*中至少有一個(gè)非零元素，由伴隨矩陣的定義可得矩

陣A中至少有一個(gè)n—1階子式不為零，再由矩陣枚的定義有r(A巨n—1。乂因

Ax=b有互不相等的解知,即其解存在且不唯一，故有r(A)Vn,從而r(A)二11一1。

因此對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)非零解向量，故選Bo

7、設(shè)山，a2,(13是四元非齊次線(xiàn)性方程組人*=1)的三個(gè)解向量，且r(A)=3,

ai=(l,2,3,4)T,(12+013=(0，1，2,3)1,c表示任意常數(shù),則線(xiàn)性方程組Ax二b

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，易知2al一?2+a3)=(2,3,4,5)丁是

Ax=0的一個(gè)非零解，所以應(yīng)選C。

8、設(shè)A為n階矩陣，A1＞是A的轉(zhuǎn)置矩陣，對(duì)于線(xiàn)性方程組(I)Ax=0和

(n)AlAx=0,必有()

A、(I)的解是(E)的解，(H)的解也是(I)的解。

B、(I)的解是(口)的解，(口)的解不是(I)的解。

C、(口)的解是(1)的解，(1)的解不是(11)的解。

D、(11)的解不是(1)的解，(1)的解也不是(口)的解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識(shí)點(diǎn)解析：如果a是(1)的解，有Aa=0,nJWATAa=AT(Aa)=AT0=0,即a是(2)

的解。故(1)的解必是(2)的解。反之，若a是(2)的解，有ATAOI=(),用P左乘可得

TTTTTT

O=aO=a(AAa)=(aA)(Aa)=(Aa)(Aa),若設(shè)Ac=(b],b2，…，bn),那么

T222

(Aa)(Aa)=b1+ba+...+bn=0bi=0(i=1?2,…，n),即Aa=0,說(shuō)明a是⑴的

解。因此(2)的解也必是(1)的解。所以應(yīng)選A。

9、設(shè)A為n階方陣，齊次線(xiàn)性方程組Ax=0有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量，A*是A的

伴隨矩陣，則()

A、A*x=0的解均是Ax=0的解。

QRI+a2x2=%與a2=(i7,4,2),是線(xiàn)性方程組

Xj+3X2-2X3=1,

2x,+Sx2+x3=8

的兩個(gè)解，則此方程組的通解是_______O

標(biāo)準(zhǔn)答案：(6,-1,l)T+k(13,-5,-1)T,k為任意常數(shù)

知識(shí)點(diǎn)解析：一方面因?yàn)閍i，a2是非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，所以

_13；

一定有r(A尸＜3。另一方面由于在系數(shù)矩陣A中存在二階子式25I=一

1加，所以一定有r(A巨2,因此必有r(A)="彳)=2。由n—r(A)=3—2=1可知，導(dǎo)

出組Ax=O的基礎(chǔ)解系曰一個(gè)解向量構(gòu)成，根據(jù)解的性質(zhì)可知ai一ct2=(6,—1,

1)T一(一7,4,2)T=(13,-5,—1戶(hù)是導(dǎo)出組Ax=0的非零解，即基礎(chǔ)解系，則

方程組的通解為x=(6,-1,1)T+k(13,—5,11),，k為任意常數(shù)。

13、設(shè)A是秩為3的5x4矩陣，川，(12，(13是非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b的三個(gè)不同

TT

的解，如果a]+a2+2a3=(2,0,0,0),3ai+a2=(2,4,6,8),則方程組AX=b的

通解是O

T

標(biāo)準(zhǔn)答案：(2,O0,0)+k(0,2,3,4)T,k為任意常數(shù)

知識(shí)點(diǎn)解析：由于r(A)=3,所以齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系只含有4一r(A)=l個(gè)

解向量。又因?yàn)?ai+a2+2a3)—(3ai+a2尸2(a3一囚)二(0,-4,-6,一8產(chǎn)是

Ax=0的解，所以其基礎(chǔ)解系為(0,2,3,4)丁，由

A(a1+a2+2a3)=Aa)+Aao+2Aas=4b,可知4(川+。2+2(13)是方程組Ax=b的一個(gè)解，

1

根據(jù)非齊次線(xiàn)性方程組的解的結(jié)構(gòu)可知，其通解是(2,0,0,0)T+k(0,2,3,

4)、

『[23]

14、若42Jl46J,則x二________o

2-詼3.叫

標(biāo)準(zhǔn)答案：I巧力L其中X2,y2是任意常數(shù)

[I:]不可逆，故可設(shè)*=0)\

22

知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣X2力叱

K]+x2=2,

可得線(xiàn)性方程組力+力=3,故x]=2—X2，yi=3—y2，所以X=

3-力]

孫力,其中X2，y2是任意常數(shù)。

三、解答題（本題共70題，每題1.0分，共70分。）

+anx2+…+5.4=與，

Q”與i+。22盯+…+a血=%,

(1)

叼+…+

15、已知方程組/+°?2有解，證明：方程組

a“陽(yáng)+a2lx2+???+aMlx?=0,

3+。22盯+…位/=°，

%內(nèi)+。2尸2+….。?匕=0，

6西.3?…=1無(wú)解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：用A，4和乙，A2分別表示方程組（]）與⑵的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，則

^,=A2Te已知方程組（1）有解，故r（Ai）="4）。又由于（b],b2，…，bm，1）不能

由（a][,321>…，3m1?0）?（a12，322?…，3m2?0），…，（31n?32n?…，3mn?0）

線(xiàn)性表示,所以

O'

〃0

■220

a&0

="4).

%…噎°

2A0

，b2…6.1」

.1o-ml

40

而=r(A；),

0Lau%、

故r(4：)#r(A2),再由r(A：)=r(Al)=r(41)=r(A；)=r(A?).可得r(A?)#r(A2)，所以方

程組(2)無(wú)解。

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

pXj+AX2+f￡Xx+x4=0,

2.t)+x2+x3+2X4=0,

16、設(shè)線(xiàn)性方程組3/+(2+A)孫—4+”)x3+4/=1,已知(1,—1,1,-1)T

是該方程組的一個(gè)解，求方程組所有的解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：將(1,一1,1,一1)T代入方程組可得入=2對(duì)增廣矩陣作初等行變

換，可得

1AA1。AA1：O-I

II

A=2112；001-2A1-2A0；00I-2AI-2A0；0

4-2A?

-32+A4+A41」-02-2A1-LO13

1

1；0

1-2

A二5時(shí),A1

013

因?yàn)閞(A)="4)=2V4,所以方程組有

⑴當(dāng)-00000」

1

,1

無(wú)窮多解，其通解為(21,0,0)T+k|(l,一3,1,0)7+1<2(—1,一2,0,

2)丁，其中k”k2為任意常數(shù)。(口)當(dāng)

1011：On

AW了時(shí)/一0110i00110iO

r(4)=3<4,所

LO131-00211」o因r(A)=

以方程組有無(wú)窮多解，其通解為(一1,0,0,l)T+k(2,—I,I,一2戶(hù)，其中k

為任意常數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

'139'

206

已知A,B為三階非零矩陣，且A」-?I-7」，p1=(o,1,一1/，p2=(0,

2,1)L飽=(6,1,0)T是齊次線(xiàn)性方程組Bx=O的三個(gè)解向量，且AX寸3有解。

求

17、a,b的值；

標(biāo)準(zhǔn)答案：由BWO,且仇，歷，飽是齊次線(xiàn)性方程組Bx=O的三個(gè)解向量可知，向

0ab

121

量組由，陽(yáng)的必線(xiàn)性相關(guān)，于是IB1，「2，「3I=一??°=0,解得a=3b。

由AX邛3有解可知，線(xiàn)性方程組Ax邛3,的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，對(duì)

1396]

206]-0-T2-26

5-A

L-3I-70」L000-~-

增廣矩陣作初等行變換得(A,p3)=3」，

所以b=5,a=3b=15o

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

18、求Bx=0的通解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锽￥O,所以r(B巨1,則3—r(B)S2。又因?yàn)橛桑氖荁x=0的兩個(gè)

線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，故3—1(0巨2,故r(。尸1所以仇，的是Bx=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,于

是Bx=0的通解為x=kifh+k2P2，其中ki，kz為任意常數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

Xj+?2+x5+x4+x5=a,

X

3x,+2X2+,+x4-3xs=0,

x2+2x3+2X4+6xs=b,

5%+4X+3x+3X-x=2。

19、已知線(xiàn)性方程組(2s45問(wèn)；a、b為何值時(shí)，方程組

有解，并求出方程組的通解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：

1111111：a-

11-3；001226：3a

B

226b0000016-3a

332--00000i2-2n-

fb-3a

方程組有解O"A)=r(8)=

12-2a

10-1-1-5：-2,

1

01226：3

當(dāng)Q=1,且6=3時(shí)］—?

00000;0

1

-00000：0-原方

-^4-5%,=-2,

程組等價(jià)于匕2+23+2x,+6%=3,該方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程組為

■O'

0

-0-

得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系

-2'

3

0

0

得方程組的一個(gè)特解n=0-，則方程組的通解為x=rj+k]K+k2及+k313,其中k|,

k2,k3為任意常數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

a”/+al3x2+…+可.%〃=0.

（]）知陽(yáng)+。22巧+…+”2.租=0，

20、已知方程組+?七+…+冊(cè)&5=°的一個(gè)基礎(chǔ)解系為（b]|,

b]2，…，bl.2n）T，（b21,b22，…，^2-211）,，…，（bnl，bn2，…，bn.2n）^<>試與出

“I力+bl2y2+…+61211y2,=0.

（2）62,+b22y?+…+—=0,

線(xiàn)性方程組心力+岫力+…+鼠入仄=o的通解，并說(shuō)明理由。

標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可知，線(xiàn)性方程組⑵的通解為廣C]（au，a]2,…，ai.

2n）+，2（a21,222,…，32,2n）+…+Cn（anl，Hn2?…，Hn.2n）^?其中C],C2,…，Cn

是任意的常數(shù)。這是因?yàn)椋涸O(shè)方程組⑴和⑵的系數(shù)矩陣分別為A,B,則根據(jù)題

意可知ABT=O,因此BAT=（AB）T=O,可見(jiàn)A的n個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置為（2）的n個(gè)解

向量。由于B的秩為n,所以⑵的解空間的維數(shù)為2n—r（B）=2n—n=n,乂因?yàn)锳

的秩等于2n與（1）的解空間的維數(shù)的差，即n,因此A的n個(gè)行向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)

的，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成⑵的一個(gè)基礎(chǔ)解系。

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

21、已知4x5矩陣A=（ai,012，as,04，as）,其中ai，a2,as，（u,as均為四維列

向量，cq,口2，04線(xiàn)性無(wú)關(guān)，又設(shè)口3=川一。4，（15=（x1+012+04，B=2a]+a2一

013+04+（x5,求Ax=p的通解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：由于囚，a2,04線(xiàn)性無(wú)關(guān)，a3=ai—04-a5=ai+02+04?所以r（A）=3。

由已知條件P=2ai+a2—013+04+（x5,從而線(xiàn)性方程組Ax=p有特解n=（2,1,一1,

1,l)To由ot3=a]—04,a5=ai+a2+?4，可知導(dǎo)出組Ax=0的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解為

號(hào)=(1,0,一1,一1,0)T,々=(1,1,0,1,一1兒由r(A)=3,可知齊次線(xiàn)性

方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解構(gòu)成，故&2為Ax=0的基礎(chǔ)解

系,方程組Ax=0的通解為x=r|+kiqi+k242，其中ki，kz為任意常數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

X.+x,=0.

(1):2(2)：

設(shè)四元齊次線(xiàn)性方程組44;0；與+”0c求:

22、方程組(1)與(2)的基礎(chǔ)解系;

標(biāo)準(zhǔn)答案:求方程組(1)的基礎(chǔ)解系：對(duì)方程組(1)的系數(shù)矩陣作初等行變換

110

010-m。分溫,其基礎(chǔ)解系可取為

0'

01

10

-01■求方程(2)的基礎(chǔ)解系：對(duì)方程組(2)的系數(shù)矩陣作初等行變

-10011

1-11卜分別取

換01-1門(mén)山哨…

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

23、(1)與(2)的公共解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X=(X|,X2,X3,X4)T為(1)與(2)的公共解，用兩種方法求X的一般表

達(dá)式：將⑴的通解X=(C],—C],C2，-Cl)T代入⑵得C2=-2ci，這表明⑴的解

中所有形如(C1，一C1，-2ci，-C1)T的解也是(2)的解，從而是(1)與(2)的公共

解。因此(1)與(2)的公共解為X=k(—1,1,2,1)T,kGRo

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

aUX\+al2X2+…+4?乙=°,

02IX1+anx2+…+勺d”=0,

24、已知齊次線(xiàn)性方程組3+3……即:黑,“二；二二瓦,

Ql2Xl+a22X2+…+=8,

5抵+a2?x2+…+<1".=6.

biX|+b2X2+...+bnxn=0的解。試證明線(xiàn)性方程組有

解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知齊次線(xiàn)性方程組

?ii?i+anx2++ai^=0,

。21町+ax+…+=0,

n2(1)

+。7町+…+=°的所有解都是方程

b|Xiib2X2+...+bnXn=O(2)的解，可知方