思想方法　第3講　分類討論思想

思想方法第3講分類討論思想思想概述分類討論思想是當問題的對象不能進行統一研究時，需對研究的對象按某個標準進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結論，最終綜合各類結果得到整個問題的解答.實質上分類討論就是“化整為零，各個擊破，再集零為整”的數學思想.內容索引方法一方法二由概念、公式、法則、計算性質引起的分類討論由圖形位置或形狀引起的分類討論方法三由參數變化引起的分類討論方法一由概念、公式、法則、計算性質引起的分類討論概念、定理分類整合即利用數學中的基本概念、定理對研究對象進行分類，如絕對值的定義、不等式的轉化、等比數列{an}的前n項和公式等，然后分別對每類問題進行解決.例1思路分析

設直線方程→k存在，l：y＝kx＋3→由圓心到直線l的距離d＝1求解→斜率不存在，l：x＝0.

(1)(2023·成都模擬)直線l過點(0,3)與圓C：x2＋y2－2x－2y－2＝0交于A，B兩點，且|AB|＝

，則直線l的方程為A.3x＋4y－12＝0B.3x＋4y－12＝0或4x＋2y＋1＝0C.x＝0D.x＝0或3x＋4y－12＝0√將圓C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝4，則圓心C的坐標為(1,1)，半徑為2.當直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時，代入圓的方程得y2－2y－2＝0，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋3，綜上可得，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0.(2)已知數列{an}滿足a1＝－2，a2＝2，an＋2－2an＝1－(－1)n，則下列選項不正確的是A.{a2n－1}是等比數列思路分析

an＋2－2an＝1－(－1)n→n為奇，{a2n－1}為等比數列；n為偶，{a2n}為等比數列.C.{a2n}是等比數列√對于A，當n是奇數時，an＋2－2an＝2，所以an＋2＋2＝2(an＋2)，又因為a1＝－2，所以a1＋2＝0，所以當n是奇數時，an＋2＝0，即an＝－2，即{a2n－1}是以－2為首項，1為公比的等比數列，即選項A正確；對于B，由A知，當n是奇數時，an＋2＝0，即選項B錯誤；對于C，當n為偶數時，an＋2－2an＝0，即an＋2＝2an，即選項D正確.所以{a2n}是以2為首項，2為公比的等比數列，即選項C正確；批注規律方法解題時應準確把握數學概念的本質，根據需要對所有情形分類.設直線方程需分斜率存在和不存在兩種情況，數列中含(－1)n需分奇、偶兩種情況，要注意分類討論，要有理有據、不重不漏.方法二由圖形位置或形狀引起的分類討論圖形位置、形狀分類整合是指由幾何圖形的不確定性而引起的分類討論，這種方法適用于對幾何圖形中點、線、面的位置關系以及解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關系的研究.例2思路分析

分類討論點A的位置(圓內、圓上、圓外)→求||QO|－|QA||或|QA|＋|QO|→利用圓錐曲線定義判斷形狀.

(多選)(2023·鹽城模擬)已知P是圓O：x2＋y2＝4上任意一點，定點A在x軸上，線段AP的垂直平分線與直線OP相交于點Q，當P在圓O上運動時，Q的軌跡可以是A.圓

B.橢圓C.雙曲線

D.拋物線√√√當點A在圓外時，如圖(1)，(2)所示，設AP的中點為B，過B作AP的垂線交直線OP于Q，連接AQ，則|QP|＝|QA|，則||QO|－|QA||＝|OP|＝2，又|AO|>2，則此時Q的軌跡為以O，A為焦點的雙曲線；當點A在圓內(非原點)時，如圖(3)所示，此時|QA|＋|QO|＝|QO|＋|QP|＝2，又|AO|<2，則此時Q的軌跡為以O，A為焦點的橢圓；當A在坐標原點時，如圖(4)所示，此時B，Q重合，|QO|＝1，則此時Q的軌跡為以O為原點，半徑為1的圓；當點A在圓上時，如圖(5)所示，由垂徑定理，可知Q與O重合，此時Q的軌跡為點O.批注點A在x軸上，但沒明確是在圓內、圓外，還是圓上，所以需分類討論，仔細審題，理解題意是關鍵.規律方法圓錐曲線的形狀、焦點位置不確定時要分類討論；立體幾何中點、線、面的位置變化，三角形和平行四邊形的不確定性都要進行分類討論.方法三由參數變化引起的分類討論某些含有參數的問題，由于參數的取值不同會導致所得的結果不同，需對參數進行討論，如含參數的方程、不等式、函數等.解決這類問題要根據需要合理確定分類標準，討論中做到不重不漏，結論整合要.例3思路分析

求f′(x)→分a≤1，1<a<e，a≥e討論求最小值→a的值；若a≤1，則f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，所以f(x)在[1，e]上單調遞增，若1<a<e，令f′(x)<0，解得1≤x<a，令f′(x)>0，解得a<x≤e，所以函數f(x)在[1，a)上單調遞減，在(a，e]上單調遞增，若a≥e，則f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，所以f(x)在[1，e]上單調遞減，思路分析

討論f(x)在[1，e]上的單調性→由單調性求f(x)的最大值.(2)討論f(x)在[1，e]上的最大值.由(1)可知若a≤1，則f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，若1<a<e，令f′(x)<0，解得1≤x<a，令f′(x)>0，解得a<x≤e，所以函數f(x)在[1，a)上單調遞減，在(a，e]上單調遞增，f(x)max＝f(1)＝a；若a≥e，則f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，所以f(x)在[1，e]上單調遞減，f(x)max＝f(1)＝a，規律方