數(shù)字信號處理-使用Python分析與實現(xiàn) 課件全套 李蓉艷 第1-10章 離散時間信號與系統(tǒng)-常用的特殊濾波器和實例分析

數(shù)字信號處理DigitalSignalProcessing(DSP)1

指利用數(shù)字計算設(shè)備對離散時間信號進(jìn)行數(shù)值分析、變換和識別的技術(shù)，旨在從原始信號中提取有效信息或?qū)崿F(xiàn)特定功能（如降噪、壓縮）。

什么是數(shù)字信號處理什么是數(shù)字信號處理4電、磁、聲、光、機(jī)械、生物醫(yī)學(xué)信號為什么要學(xué)習(xí)數(shù)字信號處理每天2.5萬億字節(jié)數(shù)據(jù)心電信號：0.05-100Hz聲信號：20Hz-20kHz光纖：1550nm波段機(jī)械振動信號：1-10kHz5為什么要學(xué)習(xí)數(shù)字信號處理交叉融合不斷發(fā)展6為什么要學(xué)習(xí)數(shù)字信號處理專業(yè)學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)技術(shù)7高精度高可靠性可程序控制易于存儲和復(fù)制抗干擾能力強(qiáng)處理效率高便于集成化等為什么要學(xué)習(xí)數(shù)字信號處理8為什么要學(xué)習(xí)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理也存在一些缺點系統(tǒng)復(fù)雜、成本高；受到量化誤差的影響。實際應(yīng)用需要綜合考慮找到合適的解決方案。D/A轉(zhuǎn)換器A/D轉(zhuǎn)換器

數(shù)字信號處理系統(tǒng)框圖9用序列表示信號（A/D）用數(shù)字信號處理器進(jìn)行處理（DSP）重建模擬信號（D/A)/en/lp/001/beginners-guide-to-dsp.html防混疊前置濾波器采樣保持量化編碼解碼保持?jǐn)?shù)字信號處理器平滑用模擬低通濾波器

數(shù)字信號處理的應(yīng)用10語音信號處理

醫(yī)學(xué)信號處理圖像和視頻處理計算機(jī)控制無線通信雷達(dá)與聲納系統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能……廣泛用于科學(xué)、技術(shù)和社會生活的各個層面/newspage/data/dtlandingsuper?nid=dt_5555613951464192412課程的主要內(nèi)容（1）信號的采集技術(shù)，抽樣定理及模擬恢復(fù)理論。（2）離散信號的分析技術(shù)，頻域變換技術(shù)及信號特征的描述等。（3）離散系統(tǒng)的分析方法，線性時不變系統(tǒng)的描述，系統(tǒng)函數(shù)及頻率特性。（4）信號的快速傅里葉變換算法，快速卷積與快速相關(guān)技術(shù)。（5）經(jīng)典數(shù)字濾波器的設(shè)計技術(shù)。11課程的主要內(nèi)容（6）多抽樣率數(shù)字信號處理技術(shù)。（7）數(shù)字信號處理中的有限字長效應(yīng)。（8）數(shù)字信號處理技術(shù)的應(yīng)用實例。12教材及參考書教材：數(shù)字信號處理-基于Python的設(shè)計與實現(xiàn)，,董怡，何斌，清華大學(xué)出版社?？勺鳛橄嚓P(guān)專業(yè)工程技術(shù)人員和科學(xué)研究人員的參考書參考書：1.數(shù)字信號處理，程佩青，第五版，清華大學(xué)出版社。2.

A.V.奧本海姆，R.W.謝弗著，黃建國等譯，離散時間信號處理，科學(xué)出版社。3.Python編程基礎(chǔ)與科學(xué)計算，李增剛等，清華大學(xué)出版社。131415數(shù)字信號離散時間系統(tǒng)時間域頻率域z域系統(tǒng)函數(shù)單位沖激響應(yīng)序列的z變換序列離散傅里葉變換（DFT）頻率響應(yīng)濾波器設(shè)計第1章第2、5章第3,4,6,7章教材各章內(nèi)容安排16數(shù)字信號離散時間系統(tǒng)多抽樣率有限字長效應(yīng)第8章第9章實例拓展第10章抽取、插值濾波器多級實現(xiàn)編碼濾波器的量化效應(yīng)教材各章內(nèi)容安排*時頻分布17數(shù)字信號處理的實現(xiàn)軟件實現(xiàn)通用的計算機(jī)上用軟件來實現(xiàn)。靈活，但是運(yùn)算速度慢，一般達(dá)不到實時處理。硬件實現(xiàn)DSP芯片、可編程超大規(guī)模器件或開發(fā)專用芯片來實現(xiàn)。速度快，可以達(dá)到實時處理要求，但是不靈活。Python在DSP中的優(yōu)勢快速原型開發(fā)：無需編譯，直接通過腳本驗證算法（濾波器設(shè)計，頻譜分析）;開源生態(tài)支持：提供完整的DSP工具鏈;交互式環(huán)境：JupyterNotebook支持實時調(diào)試和可視化，適合教學(xué)和算法展示;與其他語言集成：通過Cython或者調(diào)用C/C++代碼優(yōu)化性能關(guān)鍵部分。18常用的Python庫及功能19庫名稱核心功能典型應(yīng)用場景NumPy高效處理數(shù)組、矩陣運(yùn)算，F(xiàn)FT實現(xiàn)信號生成、卷積、相關(guān)分析SciPy提供濾波器設(shè)計（FIR/IIR）、窗函數(shù)、譜分析工具設(shè)計低通/高通濾波器，計算功率譜密度Matplotlib繪制時域/頻域圖、頻譜圖等信號可視化、結(jié)果對比Librosa音頻信號處理（MFCC、節(jié)拍跟蹤）語音識別、音樂信息檢索PyAudio實時音頻采集與播放麥克風(fēng)輸入實時濾波DSP課程的學(xué)習(xí)方法課程內(nèi)容較抽象，理論性強(qiáng)，數(shù)學(xué)公式數(shù)量多且復(fù)雜；實踐中既要理解理論，也要實驗驗證；深入理解定理與公式的物理意義，利用圖形直觀展示信號處理的過程和結(jié)果；認(rèn)真理解課程例題中的原理和程序方法，運(yùn)用理論分析設(shè)計實際系統(tǒng)，在實踐中加深對理論的認(rèn)識。20211.3采樣定理采樣量化編碼模數(shù)轉(zhuǎn)換（ADC，analogtodigitalconverter）

——將連續(xù)的模擬幅值轉(zhuǎn)換為一組離散的幅值?！獙㈦x散幅度值用二進(jìn)制數(shù)來表示。221.3.1奈奎斯特采樣定理1.采樣過程的數(shù)學(xué)描述

采樣后，如何恢復(fù)原信號？從采樣后信號頻譜的變化分析232.理想采樣的頻譜

時域相乘對應(yīng)頻域的卷積

1.3.1奈奎斯特采樣定理24

1.3.1奈奎斯特采樣定理25

1.3.1奈奎斯特采樣定理

26

1.3.1奈奎斯特采樣定理27奈奎斯特采樣定理

283.將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為模擬信號

低通濾波器：

低通濾波器的單位采樣響應(yīng)：1.3.1奈奎斯特采樣定理29理想低通濾波器的輸出：

1.3.1奈奎斯特采樣定理30

內(nèi)插公式：內(nèi)插函數(shù)：恢復(fù)連續(xù)信號時，在各采樣點之間做內(nèi)插。

1.3.1奈奎斯特采樣定理314實際采樣隨著頻率增大，周期延拓分量的幅度逐漸衰減，仍然可以通過低通濾波器得到采樣前模擬信號頻譜的形狀，因此奈奎斯特采樣定理仍然有效。325正弦型信號的采樣

33（2）兩個不同頻率正弦信號的采樣

解：

兩個模擬正弦信號采樣后得到相同的序列5正弦型信號的采樣34（3）同一個模擬正弦信號，用不同頻率采樣得到相同序列。

可得到相同的采樣序列。5正弦型信號的采樣351.3.2帶通采樣（a）帶通信號的頻譜

亞奈奎斯特采樣定理36第1章離散時間信號與系統(tǒng)同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院37離散時間信號1.離散時間信號的概念2.離散時間信號的表示3.常用的典型序列4.序列的周期性5.序列的運(yùn)算離散線性移不變系統(tǒng)1.線性移不變系統(tǒng)2.單位采樣響應(yīng)3.因果性、穩(wěn)定性4.常系數(shù)差分方程5.采樣定理第1章離散時間信號與系統(tǒng)1.1離散時間信號的概念

連續(xù)時間信號—自變量連續(xù)有定義，幅值可以是連續(xù)的也可以是離散（量化）的離散時間信號

—自變量在離散時間點有定義，幅值是連續(xù)的，又稱序列或采樣信號。模擬信號—自變量連續(xù)有定義，且信號幅值連續(xù)有定義數(shù)字信號—自變量在離散時間點有定義，信號幅值常用二進(jìn)制編碼表示。38按照自變量和信號幅值的連續(xù)與離散分為四種情況：1.1離散時間信號的概念

39連續(xù)信號離散信號數(shù)字信號量化信號(a)(b)(c)(d)1.1.1離散時間信號-序列40

圖像表示：頂端帶小黑點的豎線表示一個采樣值1.1.2典型序列1）單位采樣序列41

n=np.arange(-10,11,1)x=(n==0)n=np.arange(-2,7)#定義變量nn0=3x=[1ifi==n0else0foriinn]

2）單位階躍序列42

與單位采樣序列的關(guān)系n=np.arange(-5,6,1)#定義序列下標(biāo)x1=[1ifi>=0else0foriinn]#生成序列1.1.2典型序列

3）矩形序列43

與其他序列的關(guān)系importnumpyasnpN=10x1=np.where(np.arange(N)>=0,1,0)1.1.2典型序列44importmatplotlib.pyplotaspltimportnumpyasnpn=np.linspace(0,20,21,dtype=int)y1=np.power(1.5,n)4）實指數(shù)序列

1.1.2典型序列5）復(fù)指數(shù)序列45為數(shù)字域頻率

例：1.1.2典型序列importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltn=np.arange(-6,8,1,dtype=32)omega_degree=[0,90,180,270]alpha=0.05*np.pi;omega=np.deg2rad(omega_degree)plt.rc("font",family='MicrosoftYaHei',size=12)foriinrange(len(omega)):x=np.exp((alpha+1j*omega[i])*n)print(x)plt.figure(i+1)plt.subplot(2,2,1),plt.stem(n,np.real(x),basefmt='--')plt.xlabel('n')plt.title('$\omega={}^\circ$實部'.format(omega_degree[i]))plt.subplot(2,2,2),plt.stem(n,np.imag(x),basefmt='--')……….46生成復(fù)指數(shù)序列的Python代碼復(fù)數(shù)序列的形式47

實部和虛部：極坐標(biāo)形式：

其中相位：

1.1.2典型序列6）正弦序列48模擬正弦信號：數(shù)字域頻率是模擬域頻率對采樣頻率的歸一化頻率1.1.2典型序列importmatplotlib.pyplotaspltimportnumpyasnpn=np.linspace(0,20,40)fs=1x=4*np.sin(0.25*np.pi*n/fs+np.pi/4)plt.figure()plt.stem(n,x,basefmt='black')plt.plot(n/fs,x,'--'),plt.xlabel('t')plt.title(r"4sin(0.25$\pi$n+pi/4)")plt.tight_layout()plt.show()49序號使用的內(nèi)置函數(shù)作用1np.sin()生成一個正弦函數(shù)2np.linspace()生成等間隔的數(shù)據(jù)點3plt.stem()繪制離散數(shù)據(jù)的莖線圖4plt.plot()繪制連續(xù)曲線圖生成正弦序列的Python代碼1.1.2典型序列7）任意序列

50

例：x(n)可以表示成單位取樣序列的移位加權(quán)和，也可表示成與單位取樣序列的卷積和。1.1.2典型序列1.1.3序列的周期性

511.1.3序列的周期性

52

53

設(shè)連續(xù)正弦信號：采樣序列：

1.1.3序列的周期性令：54例：N，k為互為素數(shù)的正整數(shù)即N個采樣間隔應(yīng)等于k個連續(xù)正弦信號周期1.1.3序列的周期性1.1.4序列的運(yùn)算加法乘法累加能量平均功率移位翻褶時間尺度變換差分卷積和55信號處理是通過各種運(yùn)算來完成的；這些信號處理的運(yùn)算都是基本運(yùn)算的組合。（1）加法

同序列號n的序列值逐項對應(yīng)相加56

1.1.4序列的運(yùn)算（2）乘法同序號n的序列值逐項對應(yīng)相乘57

1.1.4序列的運(yùn)算（3）累加58

1.1.4序列的運(yùn)算（4）序列的能量59

1.1.4序列的運(yùn)算（4）序列的平均功率60

1.1.4序列的運(yùn)算（6）移位

611.1.4序列的運(yùn)算（7）翻褶

x(-n)是以n=0的縱軸為 對稱軸將序列x(n)

加以翻褶62

（a）原序列

（b）序列翻褶

（c）序列翻褶移位1.1.4序列的運(yùn)算（8）時間尺度變換抽取

63

插值

1.1.4序列的運(yùn)算（9）差分前向差分：64

1.1.4序列的運(yùn)算后向差分：（10）卷積和設(shè)兩序列x(n)、h(n)，則其卷積和定義為：651）翻褶：2）移位：3）相乘：4）累加：1.1.4序列的運(yùn)算1.2離散時間系統(tǒng)

661.2.1時域離散的線性移不變系統(tǒng)

67

1.線性系統(tǒng)2.移不變系統(tǒng)

如果系統(tǒng)對輸入信號的運(yùn)算關(guān)系不隨離散時間點的移動變化，也就是說系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而變化，則這種系統(tǒng)稱為移不變系統(tǒng)。68

1.2.1時域離散的線性移不變系統(tǒng)

69

70增量線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)x(n)y0(n)y(n)

711.2.2單位采樣響應(yīng)

T[·]

根據(jù)疊加原理

線性移不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列與單位采樣響應(yīng)的卷積72

1.2.2單位采樣響應(yīng)卷積分四步：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）累加：圖解法解析法列表法對位相乘相加法向量矩陣乘法731.卷積的計算

74（1）

卷積計算的圖解法

解：75（2）

卷積計算的解析法

76

77

解：

則

兩式相加得

78（3）

卷積計算的列表法

1324

376

673

673

673

673

673

673解：

根據(jù)卷積和計算式列表如下：

79（4）

對位相乘法

將兩序列按照右對齊排成兩行，然后作乘法運(yùn)算，不要進(jìn)位，最后將同一列的乘積值相加即卷積和結(jié)果。

312

8642

4321

12963

1213171152

80（5）向量矩陣乘法

81用矩陣形式表示為

各行為前一行的循環(huán)右移1位每行循環(huán)右移1位形成的對角線元素相同的矩陣，稱為Toeplitz矩陣（5）向量矩陣乘法82

卷積和與兩序列的前后次序無關(guān)831.卷積的計算

系統(tǒng)級聯(lián)的單位采樣響應(yīng)84

1.卷積的計算

系統(tǒng)并聯(lián)的單位采樣響應(yīng)852.相關(guān)的計算

互相關(guān)運(yùn)算沒有卷積運(yùn)算的翻褶這一步

（1）互相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)1）互相關(guān)運(yùn)算不滿足交換律2）86

2）當(dāng)是絕對可和的能量信號時，則有

87

4）可以用卷積運(yùn)算來表示相關(guān)運(yùn)算

（1）互相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)（2）自相關(guān)函數(shù)序列88

自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：

（2）自相關(guān)函數(shù)序列892）當(dāng)m＝0時自相關(guān)序列取最大值（序列與自己本身的相似程度是最大的）

3）若x(n)是絕對可和的能量信號時，有

90

解：編寫程序計算兩個序列的自相關(guān)和互相關(guān)。（3）功率信號的相關(guān)函數(shù)互相關(guān)：自相關(guān)：91當(dāng)x(n)、y(n)為周期信號時：92

54321

1248

403224168

20161284

108642

54321

5143164493420893

12345

8421

12345

246810

48121620

816243240

82034496431145

自相關(guān)與互相關(guān)互相關(guān)——兩個信號之間的相似程度，時間軸表示“挪了”多少“距離”，例如一個信號不動，另一個以起點開始“錯動”，“挪”到某點時，兩個信號的相似程度在函數(shù)值上體現(xiàn)，而“挪動”的“距離”在時間軸上體現(xiàn)。自相關(guān)——對于周期信號，自相關(guān)極值點間的距離就是周期；對于隨機(jī)信號，自相關(guān)表示該信號的變化快慢，如果自相關(guān)函數(shù)平滑，說明變化慢。94相關(guān)的應(yīng)用（1）在信號測量中，即使預(yù)先知道了振蕩干擾，受到噪聲和不確定性影響，常常難以發(fā)現(xiàn)信號中的振蕩信息，信號的自相關(guān)可以幫助驗證是否有周期振蕩信號存在，并確定信號的周期；（2）時延估計：兩個相似信號之間的互相關(guān)會產(chǎn)生振幅最大值。在雷達(dá)測量中可以確定距離或飛行時間，或者在同步信號、對齊信號方面有應(yīng)用價值；（3）信號分析：使用互相關(guān)來分析地震信號、雷達(dá)、聲吶和其他信號。將輸入信號與已知標(biāo)準(zhǔn)信號對比可以幫助檢測低于噪聲閾值的事件、提取信息或識別特性事件。9596【例10.3.1】編寫Python程序產(chǎn)生隨機(jī)信號，用來模擬機(jī)器正常運(yùn)行時的隨機(jī)噪聲，通過加入正弦信號模擬機(jī)器運(yùn)行狀態(tài)異常時發(fā)出的周期性振蕩聲音，觀察異常時自相關(guān)函數(shù)波形，得到周期性振蕩信號的周期。

1.2.3系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性

97

因果系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)必然是因果序列。98

1.2.3系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性穩(wěn)定性是系統(tǒng)正常工作的前提條件。99

解：

1.2.4常系數(shù)線性差分方程一個N階常系數(shù)線性差分方程表示為：

描述時域離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系它們決定系統(tǒng)的特征100

1011.線性常系數(shù)差分方程的求解經(jīng)典解法。這種解法類似于模擬系統(tǒng)中求解微分方程的方法，包括齊次解和特解，由邊界條件確定待定系數(shù)，這種方法比較繁瑣，實際中很少采用。迭代法。這種方法簡單，適合用計算機(jī)求解，但只能得到數(shù)值解，不容易得到閉合形式（公式）解答。卷積和計算法。這種方法用于起始狀態(tài)為零的情況，得到的是零狀態(tài)解。這是在LSI系統(tǒng)中很重要的一種分析方法。如果起始狀態(tài)不為零，還需要用求齊次解的辦法得到零輸入響應(yīng)。變換域方法。如果在z域進(jìn)行求解，方法簡便有效，用得最多，z變換與分析連續(xù)時間系統(tǒng)的拉普拉斯變換類似，后面將會討論。102

解：

103

解：

104

解：由差分方程得到系數(shù)矢量：a=[1,-0.5]，b=[1]輸入取6個長度，X

=[1,0,0,0,0,0]輸入序列為6個長度，則輸出也為6個長度fromscipyimportsignalimportnumpyasnpb=np.array([1])a=np.array([1,-0.5])x=np.array([1,0,0,0,0,0])y=signal.lfilter(b,a,x)print(y)運(yùn)行結(jié)果如下：[1.0.50.250.1250.06250.03125]利用Scipy庫中的lfilter計算差分方程的遞推解lfilter(b,a,x)：一維濾波函數(shù)105

解：使用沖激響應(yīng)函數(shù)求解importnumpyasnpfromscipyimportsignalimportmatplotlib.pyplotasplts=signal.dlti([1,0],[1,-0.5])

#使用傳輸函數(shù)表示法創(chuàng)建LTI系統(tǒng)t,y=signal.dimpulse(s,n=6)#計算LTI系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)plt.rc("font",family='MicrosoftYaHei',size=12)plt.stem(t,np.squeeze(y),basefmt='--')plt.xlabel('n',fontsize=20)plt.title('沖激響應(yīng)',fontsize=20)plt.grid(),plt.show(),print(y)差分方程的解(array([0.62,1.232,1.6320254,1.96870794,1.95972102,1.40011046,0.38456671,-0.77329974,-1.71844926,-2.18569435,-2.05880028]),array([-0.8814429,0.7411681]))運(yùn)行結(jié)果如下：106當(dāng)差分方程的初始狀態(tài)不為零時，這時除了求零狀態(tài)響應(yīng)，還需求零輸入響應(yīng)，即由初始狀態(tài)造成的輸出響應(yīng)，利用Scipy庫中的lfiltic函數(shù)求系統(tǒng)全響應(yīng)。

importnumpyasnpfromscipyimportsignalb=np.array([1,0.5,0])a=np.array([1,-0.6,0.36])ys=np.array([-1,-2])xs=np.array([1])xic=signal.lfiltic(b,a,ys,xs)n=np.arange(0,11)x=np.sin(np.pi*n/6)y=signal.lfilter(b,a,x,zi=xic)print(y)運(yùn)行結(jié)果如下：(array([0.62,1.232,1.6320254,1.96870794,1.95972102,1.40011046,0.38456671,-0.77329974,-1.71844926,-2.18569435,-2.05880028]),array([-0.8814429,0.7411681]))1071.3采樣定理

模數(shù)轉(zhuǎn)換（AD，analogtodigitalconverter）1081.3.1奈奎斯特采樣定理1.采樣過程的數(shù)學(xué)描述

采樣后，如何恢復(fù)原信號？從采樣后信號頻譜的變化分析1092.理想采樣的頻譜

時域相乘對應(yīng)頻域的卷積

1.3.1奈奎斯特采樣定理110

1.3.1奈奎斯特采樣定理111

1.3.1奈奎斯特采樣定理

112

1.3.1奈奎斯特采樣定理113

1.3.1奈奎斯特采樣定理1143.將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為模擬信號

低通濾波器：

低通濾波器的單位采樣響應(yīng)：1.3.1奈奎斯特采樣定理115理想低通濾波器的輸出：

1.3.1奈奎斯特采樣定理116

內(nèi)插公式：內(nèi)插函數(shù)：恢復(fù)連續(xù)信號時，在各采樣點之間做內(nèi)插。

1.3.1奈奎斯特采樣定理1174實際采樣隨著頻率增大，周期延拓分量的幅度逐漸衰減，仍然可以通過低通濾波器得到采樣前模擬信號頻譜的形狀，因此奈奎斯特采樣定理仍然有效。1185正弦型信號的采樣

119（2）兩個不同頻率正弦信號的采樣

解：

兩個模擬正弦信號采樣后得到相同的序列5正弦型信號的采樣120（3）同一個模擬正弦信號，用不同頻率采樣得到相同序列。

可得到相同的采樣序列。5正弦型信號的采樣1211.3.2帶通采樣（亞奈奎斯特采樣定理）（a）帶通信號的頻譜

122第2章時域離散系統(tǒng)的變換域分析

同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院第2章時域離散系統(tǒng)的變換域分析

123離散時間信號和系統(tǒng)的變換域分析2.1

z變換2.2DTFT正、逆變換典型序列的z變換Z變換的性質(zhì)和拉氏變換的關(guān)系2.3三種變換的關(guān)系2.4LSI系統(tǒng)頻域特性定義性質(zhì)頻率響應(yīng)因果穩(wěn)定零極點分析一對多映射單位圓上z變換1242.1z變換

1252.1.1z正變換

126

解

importsympyassymn=sym.symbols('n',integer=True)z=sym.symbols('z',complex=True)Z_trans1=sym.summation(1*z**-n,(n,0,sym.oo))。print('單位階躍序列的X(z)=',Z_trans1)Z_trans2=sym.summation(sym.KroneckerDelta(n,0)*z**(-n),(n,-sym.oo,sym.oo));print('單位抽樣序列的X(z)=',Z_trans2)單位階躍序列的X(z)=Piecewise((1/(1-1/z),1/Abs(z)<1),(Sum(z**(-n),(n,0,oo)),True))單位抽樣序列的X(z)=11272.1.2典型序列的Z變換收斂域1.有限長序列

其z變換：

1282.右邊序列

其z變換：

右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點所在圓之外2.1.2典型序列的Z變換收斂域129因果序列

2.1.2典型序列的Z變換收斂域1303.左邊序列

左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點所在圓之內(nèi)2.1.2典型序列的Z變換收斂域1314.雙邊序列

2.1.2典型序列的Z變換收斂域132

解

1332.1.3z逆變換

1341.留數(shù)法（圍線積分法）根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域

內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)X(z)可展開成羅朗級數(shù)，即

根據(jù)留數(shù)定理

2.1.3z逆變換135

136

137

因此

由此可得

1382.部分分式法

（1）留數(shù)法求部分分式系數(shù)2.1.3z逆變換139

可以借助計算機(jī)工具（Python或MATLAB）來求解部分分式的系數(shù)。140

解：調(diào)用numpy庫中的poly函數(shù)來求分母多項式的系數(shù)。然后利用residuez函數(shù)計算部分分式分解的參數(shù)。importnumpyasnpfromscipy.signalimportresidueza=np.poly([0.1,0.1,-0.3])r,p,k=residuez([1],a)print('r=',r,'\n','p=',p,'\n','k=',k)運(yùn)行結(jié)果：

r=[0.18750.250.5625]p=[0.10.1-0.3]k=[]

查表可得：

141（2）對比法求部分分式系數(shù)

因此

2.1.3z逆變換142比較三項的系數(shù)

部分分式分解為

143

解

144

解方程，求得

部分分式分解為

145

查表得

1463.長除法

2.1.3z逆變換147

進(jìn)行長除

148

說明是一個左邊序列，以z的升冪排列進(jìn)行長除法

進(jìn)行長除

1492.1.3z逆變換

150

解：使用deconvolve實現(xiàn)長除法的程序如下：importnumpyasnpfromscipy.signalimportdeconvolvenp.set_printoptions(suppress=True)a=np.poly([0.2,0.3,-0.4])sig=np.concatenate((np.array([1.]),np.zeros((8,))),axis=0)x,_=deconvolve(sig,a)print(x)程序運(yùn)行結(jié)果如下：[1.0.10.150.0050.0191-0.00099]1512.1.4Z變換的性質(zhì)和定理（1）線性

（比例性和可加性）

收斂域為兩個序列收斂域的公共部分。如果這些線性組合中某些零點和極點互相抵消，則收斂域可能擴(kuò)大。152（2）序列的移位

則

①雙邊z變換

2.1.4Z變換的性質(zhì)和定理153②單邊z變換

左移位性質(zhì)：

右移位性質(zhì)：

2.1.4Z變換的性質(zhì)和定理154證明：

155

得證。

156（3）乘以指數(shù)序列

證明：

2.1.4Z變換的性質(zhì)和定理157

則

證明：

因此

2.1.4Z變換的性質(zhì)和定理158（5）復(fù)共軛序列

則

證明

2.1.4Z變換的性質(zhì)和定理159（6）初值定理

證明：

因此

2.1.4Z變換的性質(zhì)和定理160（7）終值定理

證明：

2.1.4Z變換的性質(zhì)和定理161

得證。162（8）時域卷積定理

則

2.1.4Z變換的性質(zhì)和定理163證明：

164

解

由線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)

1.線性卷積法

1652.Z變換法

由收斂域判定

166

且

則

收斂域

2.1.4Z變換的性質(zhì)和定理167證明：

收斂域滿足：

兩式相乘得

被積函數(shù)的收斂域為

168

且

則

*：取共軛

2.1.4Z變換的性質(zhì)和定理169證明：

則由復(fù)卷積定理

170

因此1712.1.5利用Z變換求解差分方程

172整理得

零狀態(tài)解（與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)）零輸入解（與輸入信號無關(guān)）173

解對已知差分方程進(jìn)行單邊Z變換

零輸入解零狀態(tài)解174

解對已知差分方程進(jìn)行單邊Z變換

整理后得

175

編程求解（電子資源），程序運(yùn)行結(jié)果

1762.2有限長序列的傅里葉變換（DTFT）

正變換

逆變換

177

交換積分表達(dá)式和求和符號

由于

178則有

179

解

幅度響應(yīng)相位響應(yīng)

180181

解

程序運(yùn)行結(jié)果圖如下：Scipy庫中的freqz(b,a)

矩陣向量乘法編程求DTFT182

2.2.2序列傅里葉變換的性質(zhì)183

充分條件：

184

級數(shù)滿足以下均方收斂條件

也是DTFT存在的充分條件

一致收斂一定滿足均方收斂，而均方收斂不一定滿足一致收斂。2.2.2序列傅里葉變換的性質(zhì)185

序列傅里葉變換的主要性質(zhì)可由z變換的性質(zhì)得出2.2.2序列傅里葉變換的性質(zhì)186（1）線性

（2）序列的移位

時域的移位對應(yīng)于頻域有一個相移

（3）乘以指數(shù)序列

2.2.2序列傅里葉變換的性質(zhì)187（4）乘以復(fù)指數(shù)序列（調(diào)制性）

時域的調(diào)制對應(yīng)于頻域的相移。（5）時域卷積定理

時域的卷積對應(yīng)于頻域的相乘（6）頻域卷積定理

2.2.2序列傅里葉變換的性質(zhì)188（7）序列的線性加權(quán)

時域的線性加權(quán)對應(yīng)于頻域的一階導(dǎo)數(shù)乘以j。（8）帕塞瓦定理

時域的總能量等于頻域的總能量。

2.2.2序列傅里葉變換的性質(zhì)189（9）序列的翻褶

（10）序列的共軛

時域取共軛對應(yīng)于頻域的共軛且翻褶2.2.3序列傅里葉變換的對稱性質(zhì)190

（1）共軛對稱序列

共軛對稱序列的實部是偶對稱序列，虛部是奇對稱序列2.2.3序列傅里葉變換的對稱性質(zhì)191（2）共軛反對稱序列

共軛反對稱序列的實部是奇對稱序列，虛部是偶對稱序列類似的

其中

192

2.2.3序列傅里葉變換的對稱性質(zhì)193

其中

2.2.3序列傅里葉變換的對稱性質(zhì)1943.序列和其傅里葉變換的共軛對稱性關(guān)系

則：

（1）將序列分為共軛對稱部分和共軛反對稱部分

2.2.3序列傅里葉變換的對稱性質(zhì)195（2）將序列分為實部和虛部

2.2.3序列傅里葉變換的對稱性質(zhì)196

解

取序列長度為6，編寫程序畫出原序列、共軛對稱和共軛反對稱序列從圖終可以看到，共軛對稱序列的實部滿足偶對稱，虛部滿足奇對稱；共軛反對稱序列的實部滿足奇對稱，虛部滿足偶對稱。

197

原序列長度為6，共軛對稱和共軛反對稱序列長度為11198

1992.1.6Z變換和拉普拉斯變換的關(guān)系連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換

離散時間信號的Z變換

2002.1.6Z變換和拉普拉斯變換的關(guān)系

201

Ω:

ω:

2022.3抽樣信號的拉普拉斯變換、傅里葉變換及z變換的關(guān)系1.抽樣信號的拉普拉斯變換和z變換的關(guān)系

一一映射

多值映射關(guān)系

2032.序列的傅里葉變換和z變換的關(guān)系

即單位圓上的z變換是序列的傅里葉變換2042.4線性移不變系統(tǒng)的頻域特性2.4.1LSI系統(tǒng)的描述

幅頻特性函數(shù)：

相頻特性函數(shù)：

205

2.4.1LSI系統(tǒng)的描述206

207

解：編寫程序畫圖，零極點圖如圖所示，幅頻和相頻如圖所示。

零極點分布圖幅度頻譜和相位頻譜圖z,p,k=scipy.signal.tf2zpk(b,a)w,h=scipy.signal.freqz(b,a,wf)2082.4.2LSI系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性因果性的充分必要條件：

穩(wěn)定性的充分必要條件：

z變換的收斂域滿足：

209

importnumpyasnpa=[1,-1.5,1,-0.8]zp=np.roots(a)zpm=max(abs(zp))…[1.2182+0.j0.1409+0.798j0.1409-0.798j]1.218196866316073程序運(yùn)行結(jié)果：

2102.4.3利用系統(tǒng)的零極點分布分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)的零極點形式

幅度響應(yīng)

211

相位響應(yīng)

零點位置影響凹谷點的位置與深度零點在單位圓上，谷點為零零點趨向于單位圓，谷點趨向于零極點位置影響凸峰的位置和深度極點趨向于單位圓，峰值趨向于無窮極點在單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定212【例2.4.3】設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為

解將差分方程等式兩端取z變換

這是一個因果系統(tǒng)，可求出單位抽樣響應(yīng)

該一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為

213幅度響應(yīng)為

相位響應(yīng)為

低通高通無限沖激響應(yīng)（IIR）濾波器，有輸出到輸入的反饋環(huán)節(jié)。214

解

系統(tǒng)函數(shù)

幅度響應(yīng)

頻譜的形狀像梳子一樣，也稱為梳狀濾波器

215

由于幅度特性過渡帶較為平緩，不夠陡峭，因此對周期性信號陷波作用不理想，使其他頻率處產(chǎn)生信號的失真。單位沖激響應(yīng)是有限長的，也成為有限沖激響應(yīng)（FIR）濾波器。

216

無限沖激響應(yīng)濾波器（IIR系統(tǒng)）有限沖激響應(yīng)濾波器（IIR系統(tǒng)）

217第3章離散傅里葉變換（DFT）

同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院第3章離散傅里葉變換（DFT）

218離散傅里葉變換3.1周期序列的傅里葉級數(shù)3.2四種形式的傅里葉變換變換式的含義與連續(xù)FS的關(guān)系與z變換、DTFT關(guān)系周期卷積等性質(zhì)3.3離散傅里葉變換3.5DFT的應(yīng)用時頻域特點對偶性抽樣頻率頻率分辨率信號時間長度隱含周期性與z變換DTFT、DFS關(guān)系圓周卷積圓周相關(guān)3.4頻域抽樣定理時域周期延拓時域恢復(fù)離散頻率值逼近模擬信號頻譜本章重點-離散傅里葉變換(DFT)219離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform,DFT）是數(shù)字信號處理中非常有用的一種變換，它對時域和頻域都進(jìn)行了離散化，可以使用計算機(jī)對信號進(jìn)行時頻域的計算。先來研究周期離散序列的傅里葉級數(shù)，然后在此基礎(chǔ)上得出適用于有限長序列的離散傅里葉變換。2203.1.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)

221

3.1.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)

222

3.1.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)

223求周期序列的傅里葉逆變換

3.1.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)224周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DiscreteFourierSeries,DFS）變換對

3.1.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)225

226

2273.1.2DFS和連續(xù)時間周期信號傅里葉級數(shù)（FS）的關(guān)系

基信號

無窮多個有限個諧波分量個數(shù)周期

展開式離散傅里葉級數(shù)在時域和頻域都是離散的周期序列知道一個周期的序列值，就可以獲得周期序列的全部信息2283.1.3離散傅里葉級數(shù)（DFS）和DTFT的關(guān)系

DTFTDFS

2293.1.4離散傅里葉級數(shù)和Z變換的關(guān)系

2303.1.5離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)1線性

2312.周期序列的移位

3.1.5離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)

證明2323.頻域移位

證明

3.1.5離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)2334.對稱性

證明從DFS逆變換式

因此

3.1.5離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)2345.周期序列卷積（1）如果

則

頻域周期序列的乘積對應(yīng)于時域周期序列的周期卷積證明：

代入

3.1.5離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)235則

同理

236

解采用圖解法進(jìn)行周期卷積

一個周期的某一序列值移出計算區(qū)間時，相鄰的一個周期的同一位置的序列值就從另一端移入計算區(qū)間237（2）由于DFS的對稱性，如果

則

3.1.5離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)2383.2四種形式的傅里葉變換

時間函數(shù)頻率函數(shù)

時間域非周期（頻率域連續(xù)）時間域周期（頻率域離散）時間域連續(xù)（頻率域非周期）傅里葉變換（CTFT）傅里葉級數(shù)（FS）時間域離散（頻率域周期）序列的傅里葉變換（DTFT）離散傅里葉級數(shù)（DFS，主值區(qū)間為DFT）2391.連續(xù)時間與連續(xù)頻率-傅里葉變換（CTFT）（b）非周期、連續(xù)頻譜

3.2四種形式的傅里葉變換(a)連續(xù)、非周期信號

2402.連續(xù)時間與離散頻率-傅里葉級數(shù)（CTFS）

3.2四種形式的傅里葉變換(a)連續(xù)、周期信號

2413.離散時間與連續(xù)頻率-序列的傅里葉變換（DTFT）

3.2四種形式的傅里葉變換

2424.離散時間、離散頻率周期序列的傅里葉級數(shù)(DFS)

3.2四種形式的傅里葉變換

2433.3離散傅里葉變換（DFT）離散傅里葉級數(shù)（DFS）

將離散傅里葉級數(shù)時域和頻域的主值序列取出來，可以得到一對正逆變換對，稱為有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）。離散傅里葉變換（DFT）

主值區(qū)間

2443.3.1離散傅里葉變換的定義正變換

逆變換

DFT是DFS的主值區(qū)間245

其中

在變換區(qū)間上滿足下式離散傅里葉逆變換也是唯一的。3.3.1離散傅里葉變換的定義246

解:

247

248

2493.3.2DFT與DTFT及Z變換的關(guān)系

其離散傅里葉變換為：

比較上面兩式，得

或者

250

3.3.2DFT與DTFT及Z變換的關(guān)系

2513.3.3離散傅里葉變換的矩陣表示

252

253

254

解

采用三種方式編寫DFT矩陣（1）編寫DFT矩陣程序importnumpyasnpN=4;n=np.arange(0,N,1)nk=np.outer(n,n)WN=np.exp(-2j*np.pi*nk/N)np.set_printoptions(precision=4,suppress=True)print('{}點的DFT矩陣：\n'.format(N),WN)4點的DFT矩陣：[[1.+0.j1.+0.j

1.+0.j1.+0.j][1.+0.j0.-1.j-1.-0.j-0.+1.j][1.+0.j-1.-0.j1.+0.j-1.-0.j][1.+0.j-0.+1.j-1.-0.j0.-1.j]]程序運(yùn)行結(jié)果如下:255（2）調(diào)用Scipy.linalg線性代數(shù)工具庫中的dft函數(shù)生成DFT矩陣，計算序列的DFTfromscipy.linalgimportdftimportnumpyasnpN=4x=np.ones(N)WN=dft(N)X=WN@xnp.set_printoptions(precision=4,suppress=True)print(X)程序運(yùn)行結(jié)果為：[4.+0.j-0.-0.j0.-0.j0.-0.j]（3）IDFT矩陣fromscipy.linalgimportdftWN=dft(N)IWN=WN.conj()/N在已有DFT矩陣的情況下，利用numpy庫中的conj()方法可以獲得IDFT矩陣2563.3.4DFT隱含的周期性

DFT是離散傅里葉級數(shù)的主值，DFT隱含有周期性。

257

對頻域序列也可以表示為

3.3.4DFT隱含的周期性

2583.4離散傅里葉變換的性質(zhì)3.4.1線性

259

解編寫程序驗證DFT的線性，程序結(jié)果如圖所示

importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltx1=[1,1,1,1]x2=[1,-2,3,-4]a,b=2,3x3=np.add(np.multiply(a,x1),np.multiply(b,x2))print(x3)N=len(x2)n=np.arange(0,N,1)k=np.arange(0,N,1)k1=np.outer(n,k)D=np.exp(-1j*2*np.pi*k1/N)#DFTmatrixX1=np.dot(D,x1)X2=np.dot(D,x2)X3=np.dot(D,x3)X4=a*X1+b*X2260

3.4離散傅里葉變換的性質(zhì)3.4.2圓周移位

261

3.4離散傅里葉變換的性質(zhì)

262頻域也可以做圓周移位

頻域圓周移位后對應(yīng)的時域序列為

3.4離散傅里葉變換的性質(zhì)263

264

解編程計算畫出原序列的實部和虛部，圓周翻褶的實部和虛部。對比原序列和圓周翻褶后的DFT幅度和相位，如圖所示。

265圓周翻褶序列的DFT是原序列DFT在頻域上的周期翻褶（周期為N）266

共軛對稱部分：

共軛反對稱部分：

圓周共軛對稱序列：

圓周共軛反對稱序列：

主值序列主值序列3.4離散傅里葉變換的性質(zhì)3.4.3圓周共軛對稱性267

圓周共軛對稱：圓周共軛反對稱：

3.4離散傅里葉變換的性質(zhì)268

時域序列時域序列的DFT269序列DFT的共軛對稱性

3.4離散傅里葉變換的性質(zhì)時域序列270實數(shù)序列DFT的共軛對稱性時域序列時域序列的DFT純虛序列DFT的共軛對稱性3.4離散傅里葉變換的性質(zhì)271圓周卷積

步驟：補(bǔ)零到N點圓周翻褶圓周移位相乘相加

圓周翻褶3.4離散傅里葉變換的性質(zhì)272圓周卷積的矩陣形式

273

解：

4點的圓周卷積

274求解8點的圓周卷積

275隱含有周期性的含義，圓周卷積實際上是周期卷積的主值區(qū)間。276圓周卷積定理

證明：

3.4離散傅里葉變換的性質(zhì)277

278兩個序列在時域作圓周卷積，則在離散頻域中DFT作相乘運(yùn)算。

279圓周卷積與線性卷積

280

解：線性卷積

對位相乘法

1234111123412341234136974281將線性卷積以4為周期做周期延拓0123451369741369……69748769

282卷積求解的變換域方法除了時域求解卷積的方法，還有變換域計算卷積的方法Z變換計算卷積

DFT計算卷積283序列的圓周相關(guān)定理

如果則圓周相關(guān)序列

證明：先延拓為周期序列

則

284則

取主值序列

285

序列的圓周相關(guān)定理286對稱性

如果則有

證明：

由DFS的性質(zhì)DFT是DFS的主值序列，因此有得證N點287Parseval定理

如果都為N點則有

信號形式不同，但是信號在一個域的能量與另一個域相等，即能量守恒原理。288頻域卷積定理

則

3.4離散傅里葉變換的性質(zhì)2893.5頻域采樣定理對信號的連續(xù)頻譜也需要離散化頻域的采樣又會引起時域的哪些變化呢？頻域采樣后恢復(fù)原信號的條件是什么？恢復(fù)信號的內(nèi)插公式是什么？290

3.5頻域采樣定理291

3.5頻域采樣定理

292

3.5頻域采樣定理293

在主值區(qū)間內(nèi)

…-2-1012345678……00123456780……00000000123……56780000000……5681034568103……008103456000…

2943.5.2頻域采樣后的恢復(fù)

代入z變換公式，有

3.5頻域采樣定理295

令復(fù)頻域插值函數(shù)復(fù)頻域內(nèi)插公式

296

令

寫成下面的形式

內(nèi)插公式可以寫為

297DFT的應(yīng)用模擬信號的數(shù)字化處理：時域采樣

頻域周期延拓加窗截斷

頻譜泄露頻域采樣時域周期延拓合理選擇參數(shù)：采樣頻率窗函數(shù)形狀截斷長度2983.6.1DFT參數(shù)的選擇1.采樣頻率時域采樣定理

2992.頻率分辨率信號頻譜中能夠分辨的最接近的兩個譜峰的間隔。

因而頻率分辨率

頻率分辨率的大小和信號的時間長度成反比

300柵欄效應(yīng)

3013.序列長度的選擇計算機(jī)處理信號時會對序列做截斷

加窗3.6.1DFT參數(shù)的選擇

302

幅度譜相位譜3.6.1DFT參數(shù)的選擇303頻譜泄漏

與窗譜的卷積運(yùn)算使得信號的譜線展寬，這種展寬就稱為頻譜泄漏。304

以5為周期的周期序列

305

試探法：先選觀察時間長一點，可以減小截斷效應(yīng)的影響，如不行再取較大跨度?；蛘咄ㄟ^多次迭代，比較峰值處的誤差，當(dāng)誤差滿足條件要求時，停止迭代計算。3064.信號最高頻率與頻率分辨率之間的矛盾

307

3085.離散頻率點的對應(yīng)關(guān)系3096.對連續(xù)時間非周期信號的DFT逼近

310（2）由IDFT的估計時域信號

兩邊做傅里葉逆變換

311

312第4章快速傅里葉變換同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院2024年12月第4章快速傅里葉變換313快速傅里葉變換4.1DFT計算量4.2時間抽取FFT加法次數(shù)乘法次數(shù)WN的性質(zhì)4.3頻率抽取FFT4.7線性調(diào)頻z變換按時間奇偶分組蝶形先復(fù)乘后加減抽樣頻率頻率分辨率信號時間長度4.6FFT的應(yīng)用FFT計算卷積和相關(guān)重疊相加法離散頻率值逼近模擬信號頻譜信號流圖特點乘法和加法次數(shù)按頻率奇偶分組蝶形先加減后復(fù)乘信號流圖特點乘法和加法次數(shù)重疊保留法4.7離散余弦變換頻譜分析DCT原理DCT的計算本章重點-FFT的應(yīng)用314快速傅里葉變換（FastFourierTransform,FFT）是一種高效計算離散傅里葉變換（DFT）的算法。它通過巧妙的數(shù)學(xué)分解，降低了DFT的計算復(fù)雜度，極大提升了處理大規(guī)模數(shù)據(jù)的效率。熟練掌握使用FFT進(jìn)行卷積和相關(guān)計算的方法，熟練掌握利用FFT進(jìn)行頻譜分析的方法。理解線性調(diào)頻z變換和離散余弦變換的原理，以及與DFT的關(guān)系。3154.1DFT的計算量

復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法

實數(shù)乘法實數(shù)加法一次復(fù)乘42一次復(fù)加2316

基2FFT算法：時間抽取（DecimationInTime，DIT）頻率抽取（DecimationInFrequency，DIF）3174.2時間抽取基2FFT算法

318

令4.2時間抽取基2FFT算法

319

4.2時間抽取基2FFT算法3208點DFT分解為兩個4點DFT，再分解為四個2點的DFT

4.2時間抽取基2FFT算法321算法特點

在編程時，可以將每級蝶形單元的輸出仍放在輸入數(shù)組中。同址運(yùn)算

4.2時間抽取基2FFT算法3223.輸入倒位序，輸出自然順序

二進(jìn)制倒位序

二進(jìn)制

4.2時間抽取基2FFT算法32383264128256512102420486410244096163846553626214410485764194304128019244810242304512011264DFT乘法次數(shù)/FFT乘法次數(shù)5.3312.821.3336.5764113.78204.8372.36

4.DIT-FFT和DFT運(yùn)算量比較每個蝶形有1次復(fù)數(shù)乘法和2次復(fù)數(shù)加法

共有復(fù)數(shù)乘法次數(shù)

共有復(fù)數(shù)加法次數(shù)

4.2時間抽取基2FFT算法3245.其他DIT-FFT的運(yùn)算結(jié)構(gòu)對信號流圖來說，只要保持各節(jié)點所連的支路及其傳輸系數(shù)不變，則不論節(jié)點位置在同一列中如何排列，所得流圖都是等效的，因而可有等效的DIT-FFT流圖結(jié)構(gòu)。按時間抽選，輸入輸出皆為自然順序的FFT流圖4.2時間抽取基2FFT算法325按時間抽選，各級具有相同幾何形狀，輸入自然順序，輸出倒位序的FFT流圖按時間抽選，各級具有相同幾何形狀，輸入自然順序，輸出倒位序的FFT流圖4.2時間抽取基2FFT算法3264.3頻率抽取基2FFT算法

327

令

DIF的蝶形運(yùn)算單元4.3頻率抽取基2FFT算法328則

繼續(xù)分解下去，直到最終分解為兩點的DFT。4.3頻率抽取基2FFT算法329按頻率抽選的8點FFT運(yùn)算流圖4.3頻率抽取基2FFT算法330DIF的算法特點：

DIF與DIT對比

3314.4離散傅里葉逆變換的快速算法

DFT正變換和逆變換運(yùn)算結(jié)構(gòu)相似

332

因此

計算步驟:4.4離散傅里葉逆變換的快速算法333

則有

計算步驟:

4.4離散傅里葉逆變換的快速算法334*4.5基4FFT算法4.5.1時間抽取基4FFT

335

繼續(xù)抽取直到變成4點的DFT為止。

在嵌入式系統(tǒng)中，一般提供基2FFT算法，如果計算速度不滿足要求，可以采用基4FFT算法。每個基4蝶形運(yùn)算需要

3次復(fù)數(shù)乘法

算法類型復(fù)數(shù)乘法次數(shù)復(fù)數(shù)加法次數(shù)基2FFT基4FFT*4.5基4FFT算法3364.5.2頻率抽取基4FFT

分別令

有

把一個16點的DFT分解為四個4點的DFT；

3374.6線性卷積的FFT算法

用FFT線性卷積的步驟：

338當(dāng)一個序列長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于另一個短序列長度的情況對長序列進(jìn)行分段，每一段分別與短序列進(jìn)行卷積，再進(jìn)行組合得到卷積結(jié)果。4.6.1

重疊相加法

339

4.6.1

重疊相加法340

3414.6.2重疊保留法

342

4.6.2重疊保留法343

3444.7線性相關(guān)的FFT算法利用圓周相關(guān)定理求線性相關(guān)

3454.8線性調(diào)頻z變換需要對某一段頻帶密集采樣；有時需要對非單位圓上進(jìn)行取樣；只需要計算某一段頻帶內(nèi)的頻譜值。線性調(diào)頻z變換（ChirpZ-Transform,CZT）：采用螺旋線取樣計算更大范圍的z變換采樣值適合需要特殊取樣的情況輸入序列個數(shù)和輸出序列數(shù)可以不相等DFT不適合的情況：346

CZT算法原理

347CZT計算公式

348

4.8線性調(diào)頻z變換3494.8.3使用FFT計算線性調(diào)頻z變換

3504.9離散余弦變換離散余弦變換（DiscreteCosineTransform,DCT）是DFT的一種特殊形式。廣泛應(yīng)用于語音和圖像信號壓縮。

鏡像擴(kuò)展

DFT

351

離散余弦變換公式

4.9離散余弦變換3524.9.2DCT的矩陣計算

DCT寫成矩陣形式

353求矩陣逆運(yùn)算可以得到逆DCT

4.9.2DCT的矩陣計算354離散余弦逆變換公式為

序列分解為不同頻率的余弦信號之和。DCT只使用了余弦分量，而DFT以復(fù)數(shù)的形式同時使用余弦和正弦分量。

4.9離散余弦變換355

356

將DFT和DCT的一部分?jǐn)?shù)值賦零值，然后恢復(fù)原序列，可以看到DCT恢復(fù)的信號更接近原序列，說明DCT具有更好的能量壓縮特性，能夠用更少的系數(shù)保存信號的能量。DCT是DFT的一種特殊形式，對某些類型的信號具有更好的能量壓縮特性。在許多典型應(yīng)用中（如音頻、圖像、視頻等），信號信息往往大部分集中在低頻分量中，對應(yīng)的DCT有較少的變換結(jié)果，具有良好的能量壓縮特性。但是DCT對具有大量突變的信號或者噪聲信號具有較差的能量壓縮特性。357第5章數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)第5章數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)358數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述圖形表示差分方程單位樣值響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)IIR濾波器的結(jié)構(gòu)格型濾波器結(jié)構(gòu)信號流圖方框圖全零點格型結(jié)構(gòu)全極點格型結(jié)構(gòu)零極點格型結(jié)構(gòu)FIR濾波器的結(jié)構(gòu)直接型結(jié)構(gòu)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)直接型結(jié)構(gòu)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)并聯(lián)型結(jié)構(gòu)頻率采樣結(jié)構(gòu)線性相位FIR濾波器結(jié)構(gòu)本章重點-濾波器結(jié)構(gòu)359理解濾波器每種實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的特點和適用范圍，選擇濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)時需要考慮計算效率、穩(wěn)定性、運(yùn)算誤差、實現(xiàn)的復(fù)雜性等因素。IIR濾波器的結(jié)構(gòu)包括直接型、級聯(lián)型、并聯(lián)型等結(jié)構(gòu)。FIR的結(jié)構(gòu)則有直接型、級聯(lián)型、頻率采樣型、線性相位結(jié)構(gòu)，以及快速卷積結(jié)構(gòu)等。3605.1數(shù)字濾波器的表示方法線性移不變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)函數(shù)N階差分方程

單位脈沖響應(yīng)

在濾波器實現(xiàn)中，必須變換成一種算法，使用計算機(jī)或?qū)Ｓ糜布瓿蓪斎胄盘柕倪\(yùn)算。361濾波器結(jié)構(gòu)的方框圖或者信號流圖加法器乘法器延遲器節(jié)點的值=所有輸入支路的值之和支路的值=支路起點處的節(jié)點值×傳輸系數(shù)5.1數(shù)字濾波器的表示方法362選擇適合的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)濾波器系統(tǒng)（1）計算復(fù)雜性。指乘法次數(shù)，加法次數(shù)，取值、存儲的次數(shù)，兩個數(shù)的比較次數(shù)等。計算復(fù)雜性會影響計算速度。（2）存儲量。指系統(tǒng)參數(shù)、輸入信號、中間計算結(jié)果以及輸出信號的存儲。（3）運(yùn)算誤差。主要是指有限字長效應(yīng)，由于輸入輸出信號、系統(tǒng)參數(shù)、運(yùn)算過程都受二進(jìn)制編碼長度限制，就會帶