2025-2026學(xué)年山東省大聯(lián)考高一下學(xué)期素養(yǎng)測評（四）數(shù)學(xué)試卷-含解析

/數(shù)學(xué)考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知（其中i為虛數(shù)單位），則（）．A.5 B.7 C.9 D.252.已知，則（）A. B. C. D.3.《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法．首先，準(zhǔn)備一個(gè)圓桶模具，圓桶底面外圓的直徑為30cm，高為10cm，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為3cm的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片這種瓦片，則所需粘土的體積為（）A. B. C. D.4.已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.，，，B.，，C.，，D.，5.已知一組數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為，將這組數(shù)據(jù)分別加上它們的平均數(shù)，得到一組新數(shù)據(jù)，，，…，，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比（）A.平均數(shù)不變 B.方差不變 C.極差變大 D.中位數(shù)不變6.在直三棱柱中，側(cè)棱長為3，底面是邊長為4的正三角形，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.7.如圖，一個(gè)正四棱臺的上底邊長是下底邊長的一半，經(jīng)過點(diǎn)的平面與直線交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.8.在中，，，則為（）A.等邊三角形 B.等腰非等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)，均為復(fù)數(shù)，下列命題中正確的有（）A. B.C.若，則 D.若，則10.下列說法正確的是（）A.若，，則B.在中，若，，則C.已知a，b，c為的內(nèi)角A，B，C的對邊，則“”的充要條件是“”D.已知向量，，與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是11.已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為側(cè)面（含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得的截面面積為C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為D.當(dāng)直線與平面所成角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．13.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表法對生產(chǎn)的50個(gè)零件進(jìn)行抽樣測試，先將50個(gè)零件進(jìn)行編號，編號分別為01，02，…，50，從中抽取5個(gè)樣本，下面提供隨機(jī)數(shù)表的第1行到第2行：66674037146415711105650995866876832037905716031163149084452175738805905223594310若從隨機(jī)數(shù)表的第1行第6列開始向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的樣本中，第5個(gè)個(gè)體的編號是________．14.在三棱錐中，，，，且三棱錐的體積為，則該三棱錐外接球的表面積為___________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在平行四邊形中，.（1）用向量，表示，；（2）若，證明：，，三點(diǎn)共線.16.如圖，正方體的棱長為6，且分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）平面將正方體截成兩部分，若這兩部分的體積分別為，求的值.17.某學(xué)校組織高二數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)賽，現(xiàn)從參加挑戰(zhàn)賽的學(xué)生中隨機(jī)選取100人，將其成績（百分制）分成，，…，六組，得到頻率分布直方圖（如下圖），請完成下列問題：（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)參加挑戰(zhàn)賽的學(xué)生成績的分位數(shù)；（2）已知落在區(qū)間的樣本平均分是63，方差是5；落在區(qū)間的樣本平均分是78，方差是4，求兩組樣本成績合并后的平均分和方差.18.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為的面積，且．（1）求的值．（2）若為銳角三角形．①求的取值范圍；②當(dāng)，求周長的取值范圍．19.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面平面，且，，，．（1）求證：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；（3）當(dāng)時(shí)，求二面角正切值的取值范圍．

數(shù)學(xué)考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知（其中i為虛數(shù)單位），則（）．A.5 B.7 C.9 D.25答案：A解析：思路：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的模的公式求解即可.解答過程：因?yàn)椋裕瑒t.故選：A2.已知，則（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合條件求出，再根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式列式求解即得.解答過程：由得，又因?yàn)椋虢獾茫桑驗(yàn)椋?故選：C.3.《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法．首先，準(zhǔn)備一個(gè)圓桶模具，圓桶底面外圓的直徑為30cm，高為10cm，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為3cm的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片這種瓦片，則所需粘土的體積為（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根據(jù)題意，利用圓柱的體積公式，求得四片瓦需要的粘土量，進(jìn)而求得800片瓦需要的粘土量，得到答案.解答過程：由圓柱的體積公式，可得四片瓦需要的粘土量為，所以800片瓦需要的粘土量為．故選：D．4.已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.，，，B.，，C.，，D.，答案：C解析：思路：對于A當(dāng)時(shí)，則與有可能相交即可判斷，對于B當(dāng)時(shí)即可判斷，對于C由線面位置關(guān)系即可判斷，對于D由線面垂直的性質(zhì)及線面平行的判定定理即可判斷．解答過程：對于A：當(dāng)時(shí)，滿足，，，，則與有可能相交，故A錯(cuò)誤；對于B：當(dāng)時(shí)，，，，故B錯(cuò)誤；對于C：若一直線同時(shí)平行兩平面，則與兩平面的交線平行，故C正確；對于D：滿足，，則或，故D錯(cuò)誤．故選：C．5.已知一組數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為，將這組數(shù)據(jù)分別加上它們的平均數(shù)，得到一組新數(shù)據(jù)，，，…，，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比（）A.平均數(shù)不變 B.方差不變 C.極差變大 D.中位數(shù)不變答案：B解析：思路：求出新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即可判斷A；求出新數(shù)據(jù)的方差即可判斷B；求出兩組數(shù)據(jù)的極差，即可判斷C；舉反例判斷D.解答過程：對于A，設(shè)新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)新數(shù)據(jù)的方差為，原數(shù)據(jù)的方差為，則，故B正確；對于C，假設(shè)原數(shù)據(jù)中最大的數(shù)為，最小的數(shù)為，則原數(shù)據(jù)的極差為；則新數(shù)據(jù)中最大的數(shù)為，最小的數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的極差為，即極差不變，故C錯(cuò)誤；對于D，假設(shè)原數(shù)據(jù)為1，2，3，則平均數(shù)為2，中位數(shù)為2；則新數(shù)據(jù)為3，4，5，中位數(shù)為4，所以兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不等，故D錯(cuò)誤.6.在直三棱柱中，側(cè)棱長為3，底面是邊長為4的正三角形，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：如圖，取中點(diǎn)分別為，連接，由題可得為異面直線與所成角或所成角補(bǔ)角，然后由題意及余弦定理可得答案.解答過程：如圖，取中點(diǎn)分別為，連接.則，從而為異面直線與所成角或所成角補(bǔ)角.由題目數(shù)據(jù)，可得.取中點(diǎn)為，連接，則.從而，又異面直線夾角范圍為.則異面直線與所成角的余弦值為.故選：D7.如圖，一個(gè)正四棱臺的上底邊長是下底邊長的一半，經(jīng)過點(diǎn)的平面與直線交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)，作出面與直線的交點(diǎn)，進(jìn)而求出結(jié)果.解答過程：連接，且，連接并延長交直線于，連接，如下圖所示，因?yàn)椋悦妫悦妫烧睦馀_性質(zhì)可知，，所以四點(diǎn)共面，所以直線和直線相交，交點(diǎn)即為經(jīng)過點(diǎn)的平面與直線交于點(diǎn)；因?yàn)檎睦馀_的上底邊長是下底邊長的一半，則，則，所以，可得.故選：A.8.在中，，，則為（）A.等邊三角形 B.等腰非等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案：A解析：思路：記單位向量，利用單位向量模長求出角，再利用正弦定理化簡，利用向量數(shù)量積證明，進(jìn)而判斷三角形的形狀．解答過程：記單位向量，則，，解得，，，由正弦定理，則，，故，，則，故，即，故是等腰三角形，又，故是等邊三角形．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)，均為復(fù)數(shù)，下列命題中正確的有（）A. B.C.若，則 D.若，則答案：ABC解析：思路：根據(jù)復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模對選項(xiàng)逐一分析，舉反例可判斷D.解答過程：對于A：設(shè)，，其中，，，，則，，，所以，故A正確；對于B：設(shè)，，其中，，，，則，，所以，故B正確；對于C：若，則，同理可得，故C正確；對于D：若，取，，滿足條件，但，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.下列說法正確的是（）A.若，，則B.在中，若，，則C.已知a，b，c為的內(nèi)角A，B，C的對邊，則“”的充要條件是“”D.已知向量，，與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是答案：BC解析：思路：對于A，向量不能比較大小；對于B，利用數(shù)量積的定義和等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；對于C，由正弦定理和大邊（角）對大角（邊）即可判斷；對于D，利用數(shù)量積為負(fù)同時(shí)要排除反向共線即平角的情況即可判斷.解答過程：對于A，因?yàn)橄蛄坑蟹较颍圆荒芟駥?shí)數(shù)一樣比較大小，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B正確；對于C，由正弦定理，可知，故C正確；對于D，由即解得，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為側(cè)面（含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得的截面面積為C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為D.當(dāng)直線與平面所成角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為答案：ACD解析：思路：對于A，點(diǎn)到平面的距離為定值，所以體積為定值；對于B，找到過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得的截面，截面為等腰梯形，求面積即可判斷；對于C，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，通過題意求得，即可求出答案；對于D，求出點(diǎn)的軌跡，即可判斷.解答過程：對于A，因?yàn)槠矫嫫矫妫渣c(diǎn)到平面的距離恒等于，故，故A正確；對于B，取的中點(diǎn)，易證，所以四邊形即為過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得的截面，四邊形為等腰梯形，過點(diǎn)作，垂足為，，，，所以，所以，所以四邊形的面積為，故B錯(cuò)誤；對于C，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)椋剩郑矫妫云矫妫制矫妫裕O(shè)，，所以，，由題意得，解得，即，所以點(diǎn)位于靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)時(shí)，最小，所以點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，故C正確；對于D，因?yàn)槠矫嫫矫妫灾本€與平面所成角等于直線與平面所成角，又因?yàn)槠矫妫灾本€與平面所成角即為，即，在，因?yàn)椋裕渣c(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的四分之一圓周，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．答案：解析：解答過程：因?yàn)椋O(shè)，所以

，

，而

，所以，，解得，，因此.13.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表法對生產(chǎn)的50個(gè)零件進(jìn)行抽樣測試，先將50個(gè)零件進(jìn)行編號，編號分別為01，02，…，50，從中抽取5個(gè)樣本，下面提供隨機(jī)數(shù)表的第1行到第2行：66674037146415711105650995866876832037905716031163149084452175738805905223594310若從隨機(jī)數(shù)表的第1行第6列開始向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的樣本中，第5個(gè)個(gè)體的編號是________．答案：10解析：思路：按照題意結(jié)合隨機(jī)數(shù)表依次讀出前5個(gè)數(shù)即可.解答過程：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列數(shù)字開始由左向右每次連續(xù)讀取2個(gè)數(shù)字，刪除超出范圍及重復(fù)的編號，符合條件的編號有03，46，41，11，10，所以選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號為10.14.在三棱錐中，，，，且三棱錐的體積為，則該三棱錐外接球的表面積為___________．答案：解析：思路：先根據(jù)三棱錐的體積，求三棱錐的高，再根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì)，確定三棱錐外接球球心的位置和外接球的半徑，利用球的表面積公式求面積.解答過程：如圖：在中，，，所以.取中點(diǎn)，則為外接圓的圓心，且外接圓半徑為.連接，因?yàn)椋?又（）.所以，即.又平面，，所以平面.所以.所以三棱錐外接球的球心在線段上，設(shè)為，再設(shè)三棱錐外接球的半徑為，在中，，，,由.所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在平行四邊形中，.（1）用向量，表示，；（2）若，證明：，，三點(diǎn)共線.答案：（1），（2）證明見詳解解析：思路：（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解；（2）結(jié)合（1）得，從而，根據(jù)向量共線定理證明.（1）由平行四邊形，可得;，，，即.（2）由（1），又，所以，所以三點(diǎn)共線.16.如圖，正方體的棱長為6，且分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）平面將正方體截成兩部分，若這兩部分的體積分別為，求的值.答案：（1）證明見解析；（2）.解析：思路：（1）要證明面面平行，則需要證明一平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行，即證明平面，平面.（2）先確定平面截正方體所得的截面，然后求出該部分體積和正方體的總體積，進(jìn)而求得比值.（1）連接，則因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，由且，則四邊形為平行四邊形，則，所以且，四邊形是平行四邊形，所以，由，又平面，而不在平面內(nèi)，所以平面，平面，又平面，所以平面平面.（2）取的中點(diǎn)，連接，又是的中點(diǎn)，則，由且，則四邊形為平行四邊形，則，所以，故平面即為平面在正方體中的截面，因?yàn)檎襟w的棱長為6，所以正方體的體積為，由圖易知為棱臺，其體積，所以，則.17.某學(xué)校組織高二數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)賽，現(xiàn)從參加挑戰(zhàn)賽的學(xué)生中隨機(jī)選取100人，將其成績（百分制）分成，，…，六組，得到頻率分布直方圖（如下圖），請完成下列問題：（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)參加挑戰(zhàn)賽的學(xué)生成績的分位數(shù)；（2）已知落在區(qū)間的樣本平均分是63，方差是5；落在區(qū)間的樣本平均分是78，方差是4，求兩組樣本成績合并后的平均分和方差.答案：（1），分位數(shù)為（2）；解析：思路：（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為，結(jié)合分位數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）先計(jì)算成績在，內(nèi)的人數(shù)，求出平均值，再由方差的計(jì)算可得（1）因?yàn)轭l率分布直方圖中所有小矩形面積之和為，所以.成績小于分的占比，成績小于分的占比，所以參加挑戰(zhàn)賽的學(xué)生成績的分位數(shù)在小組中，而，所以分位數(shù)為；（2）成績在，內(nèi)的人數(shù)分別為，．．設(shè)學(xué)生成績在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)記為，，…，，學(xué)生成績在內(nèi)的數(shù)據(jù)記為，，…，，所以.18.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為的面積，且．（1）求的值．（2）若為銳角三角形．①求的取值范圍；②當(dāng)，求周長的取值范圍．答案：（1）（2）①；