2026年高考數(shù)學(xué)一輪備考練習(xí)（新高考）拋物線（學(xué)生版+解析）

第八章直線和圓、圓錐曲線

§8.8拋物線

【考情分析?探規(guī)律】

考點(diǎn)考情分析（2021-2024）命題趨勢

2024?全國新U卷、2024?北京卷、

2024?上海卷、2024?天津卷、掌握拋物線的定義、幾何

2023?全國乙卷、2023?北京卷、2023?全圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握拋物線

拋物線方程及其

國新H卷、2022?全國新H卷、2022?全的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、

性質(zhì)

國新I卷、2022?全國乙卷頂點(diǎn)、離心率）；了解拋物線的

2021?全國新II卷、2021?北京卷、簡單應(yīng)用。

2021?全國卷、

【知識梳理】

1.拋物線的定義

（1）平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)尸和一條定直線/（/不經(jīng)過點(diǎn)用的距離的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.

點(diǎn)尸叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線/叫做拋物線的—.

（2）其數(shù)學(xué)表達(dá)式：（M||朋用二陰（4為點(diǎn)M到準(zhǔn)線/的距離）.

2才購物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

圖形詳市

)?=2p工(p>0))，=-2px(p>0)X2=2p.v(p>0)x2=-2py(p>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

p的幾何意義：焦點(diǎn)”到準(zhǔn)線/的距離

頂點(diǎn)0(0,0)

對稱軸y=0x=0

昭°)一多）f)，一§

焦點(diǎn)0m

性

離心率

質(zhì)e=l

準(zhǔn)線

x2x==

方程2y-2y2

范圍GO,)，￡RxWO,y￡Ry20,x￡RyWO,xGR

開口

向右向左向上向下

方向

點(diǎn)撥】

1.通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦長等于2〃，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.

2.拋物線）2=2px（p>0）上一點(diǎn)P（M兜）到焦點(diǎn)皓，0）的距離|PF1=M）+3，也稱為拋物線

的焦半徑.

3.過拋物線ynZpMp>。）的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則|A8|=XI+X2+P，也稱

為拋物線的焦點(diǎn)弦.

4.拋物線定義中，如果定點(diǎn)廠在直線/上，此時(shí)動點(diǎn)的軌跡為過點(diǎn)F且與/垂直的直線.

5.不同的方程中，焦半徑公式、焦點(diǎn)弦公式也不相同.

【隨堂訓(xùn)練】

1.思考辨析（在括號內(nèi)打“J”或“X”）

（I）平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)戶和一條定直線/的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.（）

（2）方程尸加"0）表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是修，0）準(zhǔn)

線方程是x=/（）

（3）拋物線既是中心對稱圖形，乂是軸對稱圖形.（）

（4）拋物線的離心率一定大于橢圓的離心率.（）

2.（多選）關(guān)于拋物線）2=-2匕下列說法正確的是（）

A.開口向左B.焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一1,0）

C.準(zhǔn)線為x=\D.對稱軸為x軸

3.已知點(diǎn)P（6,和）在焦點(diǎn)為尸的拋物線C：），2=2px（p>0）上，若|PQ=?,則〃等于（）

A.3B.6

C.9D.12

4.拋物線）2=2px（p>0）過點(diǎn)4（2,2）,則點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為.

【必練核心題型】

題型一拋物線的定義及應(yīng)用

【典例】1.若拋物線『=8y上?點(diǎn)（松，yo）到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的2倍，

則知等于（）

A.iB.1

2

c.|D.2

【典例】2.（多選）（2025?八省聯(lián)考）已知尸（2,0）是拋物線。），2=2/?的焦點(diǎn),M是。上的點(diǎn)。

為坐標(biāo)原點(diǎn).則（）

A.p=4

B.|MF|^|OF]

C.以M為圓心且過F的圓與C的準(zhǔn)線相切

D.當(dāng)NO尸M=120°時(shí),尸M的面積為2H

【變式訓(xùn)練】

變式1.拋物線丁=以上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是10,貝UM至Ijx軸的距離是（）

A.4B.6

C.7D.9

變式2.已知點(diǎn)P為拋物線）2=—以上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線/：%=1的距離為4,

到直線》+），-4=0的距離為ch,則4+由的最小值是（）

A；B留

22

C.2D.V2

題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

【典例】1.若拋物線過點(diǎn)（3,-4）,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【典例】2.已知拋物線氏），2=2〃Mp>0）的焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線為，，第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在

E上，垂直/于點(diǎn)8,B/交y軸于點(diǎn)C,若|4八=2舊。=4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

【變式訓(xùn)練】

變式1.拋物線C的焦點(diǎn)F關(guān)于其準(zhǔn)線對稱的點(diǎn)為（0,-9）,則拋物線C的方程為（）

A/2=6yB.x2=\2y

C.x2=18yDf=36y

變式2.“米”是象形字，數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線G：/=-2PA（/7>0）,C2：

）2=2*（/?0）構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字形的圖案，如圖所示，若拋物線G，C2的焦點(diǎn)

分別為B,B，點(diǎn)P在拋物線G上，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線C2于點(diǎn)Q,

茍"i|=2|尸Q|=8,則〃等丁（）

A.4B.6

C.8D.I2

題型三拋物線的幾何性質(zhì)

【典例】1.（多選）對于拋物線爐=y,下列描述正確的是（）

8

A.開口向上，焦點(diǎn)為（0,2）

B.開口向上,焦點(diǎn)為（0,專）

C.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4

D.準(zhǔn)線方程為），=-4

【典例】2.（多選）已知點(diǎn)A（M，yi）,13（X2是拋物線），2=躍過焦點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn),

焦點(diǎn)為R貝1」（）

A.焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為（4,0）

氏依訓(xùn)=即+也+4

C.yi），2=—8

D.—+—=i

|F川\FB\2

【變式訓(xùn)練】

變式1.4,8是拋物線），2=2〃x（/?0）上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)/是拋物線的焦點(diǎn)，且△0A4（0

為坐標(biāo)原點(diǎn)）的重心恰為尸，若|AF|=5,則〃等于（）

A.lB.2

C.3D.4

變式2.（多選）已知拋物線），2=2pM?0）經(jīng)過點(diǎn)M（l,2）,其焦點(diǎn)為幾過點(diǎn)尸的直線/

與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（X1，），|）,8（X2，、2），。為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線0A,0B

的斜率分別為公，心，則（）

A.p=2B.|A8|N4

C.0A0B=~4D.2次2=—4

【拓展訓(xùn)練】

阿基米德三角形

1.拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.

2.阿基米德三角形的常見性質(zhì)

（1）阿基米德三角形底邊上的中線平行（或重合）于拋物線的對稱軸.

（2）若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內(nèi)的定點(diǎn)P則另一頂點(diǎn)C的軌跡為一條直線.

（3）若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)C的軌跡為準(zhǔn)線，且CA_LC8,CFYAB,阿基

米德三角形的面積的最小值為p2.

（4）若直線/與拋物線沒有公共點(diǎn)，以/上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn).

（5）底邊長為〃的阿基米德三角形的面積的最大值為需.

⑹若A（X1,與），8（X2,以），弦A8為阿基米德三角形的底邊，則阿基米德三角形頂點(diǎn)。的坐

標(biāo)為傳-空）

推論：阿基米德三角形的頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與弦A8的中點(diǎn)用的縱坐標(biāo)相同，頂點(diǎn)C的橫坐

標(biāo)與弦AB與x軸交點(diǎn)D的橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

【典例】（多選）已知A（.v,,yi）,BS,沖）是拋物線）N=2pMp>0）上的兩點(diǎn)，在兩點(diǎn)處的切

線相交于點(diǎn)Q,則下列說法中正確的是（）

A.當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時(shí)，阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為蒙日圓

B.若M為弦AB的中點(diǎn)，則與x軸平行（或重合）

C.若弦AB過拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上

D.若阿基米德三角形的底邊AB過焦點(diǎn)，M為弦A3的中點(diǎn)，則該三角形的面積最小值為2P

【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí)：60分鐘）

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共3（）分）

1.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

Af=±3yB./=±6x

C.^=±12yD.）?=±12x

2.已知拋物線C『=20，伊>0）的焦點(diǎn)為RP（xo，8）是C上一點(diǎn)，旦P到尸的距離與P

到。的對稱軸的距離之差為2,則〃等于（）

A.-B.1

2

C.2或4D.4或36

3.已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,P是/上一點(diǎn)，。是直線尸產(chǎn)與C的一

個(gè)交點(diǎn)，若而=4而，則|QF|等于（）

A.-B.-

22

C.3D.2

4.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：丁=8%,0為4軸正半軸上一點(diǎn)，線段。夕的垂

直平分線/交C于A,B兩點(diǎn),若/OAP=60。，則四邊形04尸。的周長為（）

A.64B.64V3

C任D.上

33

5.已知過拋物線C：）2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線/垂直于x軸，且與拋物線C交于P,

。兩點(diǎn)，點(diǎn)E在工軸上，且|EF|=2.若%尸依。=一2（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的準(zhǔn)線方程為

（）

A.x=-1B.x=--

2

3

C.x=-2Da=--

2

6.已知x軸上一定點(diǎn)0）3>0）,和拋物線V=2px（p>0）上的一動點(diǎn)M,若|AM|2"恒

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（0,外B.（0,p]

C.（0,用D.（0,2/7]

二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共12分）

7.已知拋物線）2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P（5,州）在拋物線上，且|PQ=6,過點(diǎn)P作

PQJ_x軸于點(diǎn)。，則（）

A.p=2

B.拋物線的準(zhǔn)線為直線），=一1

C.yo=2V5

DAFPQ的面積為4V5

8.已知拋物線丁=2/砥/?0）的焦點(diǎn)為F,AB是經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F的弦，M是線段AB的

中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A,B,M作拋物線的準(zhǔn)線/的垂線AC,BD,MN,垂足分別是C,D,N,

其中MN交拋物線于點(diǎn)Q,連接QF,NF,NB,NA,則下列說法正確的是（）

A.\MN\=^AB\

B.FNLAB

C.Q是線段MN的一個(gè)三等分點(diǎn)

D.ZQFM=ZQMF

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.拋物線f=口，的準(zhǔn)線方程是y=2,則實(shí)數(shù)a的值為.

10.已知點(diǎn)M（20,40）不在拋物線C：y2=2px（p>0）±,拋物線。的焦點(diǎn)為E若對于拋物

線上的一點(diǎn)P,IPM+IPF1的最小值為41,則〃的值等于.

四、解答題（共28分）

11.（13分）已知動點(diǎn)M與點(diǎn)F（2,0）的距離與其到直線『=一2的距離相等.

（1）求動點(diǎn)M的軌跡方程；（5分）

（2）求點(diǎn)M與點(diǎn)A（6,0）的距離的最小值，并指出此時(shí)M的坐標(biāo).（8分）

12.（15分）已知動圓過定點(diǎn)（4,0）,且在），軸上截得的弦長為8.

（1）求動圓圓心。的軌跡方程；（6分）

（2）已知P為軌跡C上的一動點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y=x+4和），軸的距離之和的最小值.（9

分）

【尖子拔高訓(xùn)練】每小題5分，共1（）分

13.已知拋物線丁=2必。＞0）上不同的三點(diǎn)A,B,。的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，尸為拋物線的

焦點(diǎn)，則（）

A.A,B,C的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列

B.A,B,。到x軸的距離成等差數(shù)列

C.A,B,C到原點(diǎn)的距離成等差數(shù)列

D.4,B,C到點(diǎn)戶的距離成等差數(shù)列

14.一個(gè)工業(yè)凹槽的截面是一條拋物線的一部分，它的方程是f=2），，ye[O,101，在凹

槽內(nèi)放入一個(gè)清潔鋼球（規(guī)則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球

的最大半徑為（）

__________

'之B.1

C2Dq

第八章直線和圓、圓錐曲線

§8.8拋物線

【考情分析?探規(guī)律】

考點(diǎn)考情分析(2021-2024)命題趨勢

2024?全國新U卷、2024?北京卷、

2024?上海卷、2024?天津卷、掌握拋物線的定義、幾何

2023?全國乙卷、2023?北京卷、2023?全圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握拋物線

拋物線方程及其

國新n卷、2022?全國新n卷、2022?全的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、

性質(zhì)

國新I卷、2022?全國乙卷頂點(diǎn)、離心率)；了解拋物線的

2021?全國新II卷、2021?北京卷、簡單應(yīng)用。

2021?全國卷、

【知識梳理】

1.拋物線的定義

(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)尸和一條定直線/(/不經(jīng)過點(diǎn)用的距離相笠的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.

點(diǎn)尸叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線/叫做拋物線的里.

(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：(M||MF|=d}(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線/的距離).

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

圖形評由

y1=2pi(p>0))2=-2px(p>0)X2=2/?V(/?>0)f=-2py(p>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

〃的幾何意義：焦點(diǎn)產(chǎn)到準(zhǔn)線/的距離

頂點(diǎn)。(0,0)

對稱軸,=0x=0

哈°))電,§

性焦點(diǎn)/0K0,

質(zhì)

離心率e=\

準(zhǔn)線

y=-2y=2

方程*2x2

范圍在0,yeRxWO,yeRy20,xeRyWO,x￡R

開口

向右向左向上向下

方向

點(diǎn)撥】

1.通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦長等于2p,通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.

2.拋物線y2=2px3。）上一點(diǎn)P（x。，泗）到焦點(diǎn)造，0）的距離|PQ=M）+務(wù)也稱為拋物線

的焦半徑.

3.過拋物線,2=2/狀（/）＞0）的焦點(diǎn)的直線交拋物線于4,B兩點(diǎn),則|A8|=xi+x2+p,也稱

為拋物線的焦點(diǎn)弦.

4.拋物線定義中，如果定點(diǎn)尸在直線/上，此時(shí)動點(diǎn)的軌跡為過點(diǎn)/且與/垂直的直線.

5.不同的方程中，焦半徑公式、焦點(diǎn)弦公式也不相同.

【隨堂訓(xùn)I練】

1.思考辨析（在括號內(nèi)打“J”或“X”）

（1）平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)”和一條定直線/的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.（）

⑵方程尸加（。#0）表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是你0）準(zhǔn)

線方程是x=-/（）

（3）拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.（）

（4）拋物線的離心率一定大于橢圓的離心率.（）

【答案】（1）X（2）X⑶X（4）7

【解析】（1）當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，軌跡為過定點(diǎn)尸與定直線/垂直的一條直線，而非拋

物線.

（2）方程），=〃/3N0）可化為『=%，，

是焦點(diǎn)在），抽上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,土），準(zhǔn)線方程是），=—表.

（3）拋物線是只有一條對稱軸的軸對稱圖形.

2.（多選）關(guān)于拋物線）2=-2A-,下列說法正確的是（）

A.開口向左B.焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一1,（））

C.準(zhǔn)線為x=1D.對稱軸為x軸

【答案】AD

【解析】對于拋物線9=一2丫，開口向左，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(一，0)，準(zhǔn)線方程為x=.對

稱軸為x軸，故AD正確.

3.已知點(diǎn)尸(6,州)在焦點(diǎn)為尸的拋物線C：)，2=2px(p>0)上，若|尸月二?,則〃等于()

A.3B.6

C.9D.12

【答案】A

【解析】拋物線C：)?=2pMp>0),準(zhǔn)線方程為x=~\,P(6,y0),由拋物線的定義可知

|PQ=6+：=￡,解得〃=3.

4.拋物線)2=2/〃。>0)過點(diǎn)4(2,2),則點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為.

【答案】|

【解析】由題意22=2pX2,解得〃=1,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-J故所求距離

為=1

22

點(diǎn)撥】拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論

設(shè)A8是過拋物線)2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸的弦，若&汨，#),8(X2，聞，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則

八\P22

(1)XIX2=—，y\y2=-p'\

Q扃+高，

(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

(4)通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦，K等于2〃，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.

【必練核心題型】

題型一拋物線的定義及應(yīng)用

【典例】1.若拋物線f=8y上一點(diǎn)(向，M)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的2倍,

則)，o等于()

A.1B.1

c.=D.2

2

【答案】D

【解析】已知拋物線的方程為f=8y,

可得〃=4,

所以焦點(diǎn)為F（0,2），準(zhǔn)線為I:y=-2.

拋物線上一點(diǎn)AQ）,州）到焦點(diǎn)F的距離等于到準(zhǔn)線/的距寓，

即|AF|=y）+2,

又因?yàn)锳到/軸的距離為.yo,

由已知得.yo+2=2yo,解得yo=2.

【典例】2.（多選）（2025?八省聯(lián)考）已知尸（2,0）是拋物線C），2=2p.t的焦點(diǎn),M是C上的點(diǎn),O

為坐標(biāo)原點(diǎn).則（）

A.p=4

B.|MF|2|OF1

C.以M為圓心且過F的圓與C的準(zhǔn)線相切

D.當(dāng)/O”M=120°時(shí),△。/7M的面積為275

【答案】ABC

【解析】由題意得$2,則p=4,A正確;

設(shè)Mg卯），則明用二沏卷|。月哮

又因?yàn)轫?xiàng)20,所以IMQ2QFLB正確；

由拋物線的定義知M到F的距離與M到C的準(zhǔn)線的距寓相等,故以M為圓心且過F的

圓與C的準(zhǔn)線相切.C正真：

當(dāng)/OPM=120"時(shí).設(shè)M在第一象限，則xo>2,y（）>0,故谿產(chǎn)"y=tan600=V5,即.的=窄+2,

XQ-2V3

又韜=8xo,所以\/3yo-8yo-l6\/3=0.

解得州二48或光二-誓（舍去），

所以5AOF,W=1|OF|X^（）|=1x2X473=4V3,D錯(cuò)誤.

【解題技巧】“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定

義獲得簡捷、直觀的求解.“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑.

’?謖底i

變式1.拋物線V=4x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是10,則M到x軸的距離是（）

A.4B.6

C.7D.9

【答案】B

【解析】拋物線V=4x的準(zhǔn)線方程為工二-1,由拋物線定義可得知+1=10,故如=

10-1=9,則|.加=/礪=反看=6,即M到1軸的距離為6.

變式2.已知點(diǎn)尸為拋物線），2=—以上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸到直線/：4=1的距離為4,

到直線工+），-4=0的距離為必，則4+心的最小值是（）

A.三B.也

22

C.2D.V2

【答案】B

【解析】直線/：x=l為拋物線41的準(zhǔn)線，點(diǎn)。到準(zhǔn)線的距禹等于點(diǎn)，到焦點(diǎn)”

的距離，過焦點(diǎn)/作直線x+y—4=0的垂線，

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P為所作直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，力+4的值最小，為點(diǎn)尸到直線x+y

-4=0的距離.

?"(—1,0),

.??3+R”^^=號

題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

【典例】I.若拋物線過點(diǎn)(3,-4),則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

［答案］)2=：工或

【解析】???點(diǎn)(3,-4)在第四象限，，拋物線開口向右或向下，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=2px(p>0)或x2=-2pi-y(pi>0).

2

把點(diǎn)(3,—4)的坐標(biāo)分別代入y=2px和『=一2九丫中，得(一4)2=2p?3,3=—2/>r(—

4),

則，2”產(chǎn)’

???所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【典例】2.已知拋物線氏)，2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線為1,第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在

E上，A/T垂直/于點(diǎn)aB/交y軸于點(diǎn)C,若［4/|=2舊6］=4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

【答案】/=4.r

【解析】由題意知。為B廠的中點(diǎn)，

因?yàn)閨AF|=|A8|,所以AC與8戶垂直,

因?yàn)閨AQ=2|8C1=4,所以/。1尸=30。，

所以/84b=600,

方法一則AAB尸為等邊三角形，設(shè)A8交y軸于點(diǎn)。，如圖，

在RtABCD中，易得|即=1,即.1,〃=2,

故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為）2一公.

方法二A《+2,2V3）,

代入E：y2=2px（p>0河得12=2/?+2）,

化簡得〃2+4p—12=0,

由于p>0,所以〃=2（〃=一6舍去）.

故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為）2=?.

【解題技巧】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

（1）定義法.

（2）待定系數(shù)法：當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，分情況討論.

【變式訓(xùn)練】

變式I.拋物線C的焦點(diǎn)尸關(guān)于其準(zhǔn)線對稱的點(diǎn)為（0,—9）,則拋物線C的方程為（）

Af=6），B.jr=12y

C.x2=18yD.X2=36y

【答案】B

【解析】由題可知，拋物線開口向上，設(shè)方程為f=2p），（p>0）,

則拋物線的焦點(diǎn)為（0,，則準(zhǔn)線為y=-1,

所以當(dāng)2=一解得P=6,

所以拋物線。的方程為d=12），.

變式2.“米”是象形字，數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線G：/=-2p.v(/7>0),C2：

)2=2/>(p>0)構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字形的圖案，如圖所示，若拋物線G，。2的焦點(diǎn)

分別為B，點(diǎn)P在拋物線G上，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線C2于點(diǎn)Q,

若|PFi|=2|PQ|=8,則〃等于(

A.4

C.8D.12

【答案】D

【解析】方法一如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M,

??,|PQ|二2|PQ|=8,

：.\0M\=2,則心=一2,

又點(diǎn)P在拋物線G:），2=-2px（p>0）上，

???W=4p,

貝"M=2萬，

在RtAPMFi中，|胡8|二々一2,

???|PM2~HM&|2=|PF][2,

??.（2萬）2+0_2）2=8?,

???〃=12（〃=一20舍去）.

方法二設(shè)PQ),_vo)，則xo<0,

???|PQ|=2|PQ=8,

，一沏+弓=2（一功）=8,

Xo=-2,p—12.

題型三拋物線的幾何性質(zhì)

【典例】1.（多選）對于拋物線爐=y,下列描述正確的是（）

8

A.開口向上,焦點(diǎn)為（0,2）

B.開口向上，焦點(diǎn)為（0,2）

C.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4

D.準(zhǔn)線方程為），=一4

【答案】AC

【解析】由拋物線#=），，即f=8），，可知拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,焦點(diǎn)到

O

準(zhǔn)線的距離為4,準(zhǔn)線方程為y=-2.

【典例】2.（多選）已知點(diǎn)A（M，巾），8（必”）是拋物線）?=8x過焦點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)，

焦點(diǎn)、為F,貝lj（）

A.焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為（4,0）

B.|A8|=XI+X2+4

C.yiy2=-S

D工+工=乙

'\FA\尸812

【答案】BD

【解析】由拋物線）2=8x,可得焦點(diǎn)為尸（2,0）,故A錯(cuò)誤；

由拋物線的性質(zhì)可得|AB|=|AF|+|8F|=XI+2+X2+2=H+X2+4，故B正確；

方法一設(shè)直線A8的方程為x=/”y+2，與拋物線的方程聯(lián)立，可得y2—16=0,

J>0,

則yi+jz—8m,yiy2=—16,

1?1_1?1

商十兩=而十彳

=_2_4_^_=

城+2窈+2衣+16尤+16

88

8y：+8上16+8龍+8x16

\那+16赤+16龍+162

_85+丫2)2-16/，2+162

22

(力丫2)2+16(y1+yz)-32yly2+16

_8x(8m)2+162+162

1624-I6x(8zn)2+32X16+162

=［故C錯(cuò)誤，D止確.

方法二因?yàn)椤?4,所以9竺=-p2=—16,

高+看=；=］故C錯(cuò)誤，D正確■

【解題技巧】應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看

出拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性.

【變式訓(xùn)練】

變式\.A,8是拋物線)，2=2/*S>0)上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)戶是拋物線的焦點(diǎn)，且△048(0

為坐標(biāo)原點(diǎn))的重心恰為P,若|AF1=5,則〃等于()

A.lB.2

C.3D.4

【答案】D

【解析】設(shè)A(xi,yi),8(X2,”),喏，0),

%+%2+0-P

因?yàn)椤?/W的重心恰為F,貝”3

3

(%1+%2=絲，

解得122

31=一%，

由yi=-yi可知A,8關(guān)于x軸對稱，即x\=xi,

則X[+X2=2xi=?,即X1=*,

24

又因?yàn)镠F|=XI+￡=￥=5,解得p=4.

變式2.(多選)已知拋物線)，2=2px(〃>0)經(jīng)過點(diǎn)M(l,2),其焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)尸的直線/

與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn);4(X1,6)，8(X2，1y2)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線OA,0B

的斜率分別為公，比，則()

A.〃=2B.|A8|24

C.0A0B=~4D.&必=一4

【答案】ABD

【解析】因?yàn)閽佄锞€V=2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)欣1,2)，所以2?=2p，解得〃=2，故A正確；

所以拋物線方程為)2=4、，則焦點(diǎn)為F(1,0),

設(shè)直線/：尸稅+1,聯(lián)立[,=牝

lx=my+l,

消去工整理得y2—4〃?y—4=0,

貝l]/=⑹〃2+16>0,

所以yi+”=4m,yij2=-4,

則xi+x2=〃?(yi+?)+2=4，〃2+2,

x\X2=(my]+1)。沙2+1)

=62)'1”+加()'1+/)+1=1,

所以依8|=內(nèi)+及+2=41!+424,故B正確；

因?yàn)椤?=(即，)"),OB=(X2,”),

所以就?赤=工/2+)叮2=—3，故C錯(cuò)誤；

由題意知，即W0且也士。，所以攵必=也?"=-4，故D正確.

X1X2

一【席鹿疝妹】

阿基米德三角形

1.拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.

2.阿基米德三角形的常見性質(zhì)

（1）阿基米德三角形底邊上的中線平行（或重合）于拋物線的對稱軸.

（2）若阿基米德三角形的底邊即弦A8過拋物線內(nèi)的定點(diǎn)P則另一頂點(diǎn)C的軌跡為一條直線.

（3）若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn),則頂點(diǎn)C的軌跡為準(zhǔn)線，且C4_LC8,CF1AB,阿基

米德三角形的面積的最小值為p2.

（4）若直線/與拋物線沒有公共點(diǎn)，以/上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn).

（5）底邊長為。的阿基米德三角形的面積的最大值為

8P

（6）若4（為，與），8（X2,以），弦為阿基米德三角形的底邊，則阿基米德三角形頂點(diǎn)。的坐

推論：阿基米德三角形的頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與弦的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相同，頂點(diǎn)C的橫坐

標(biāo)與弦人8與x軸交點(diǎn)。的橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

【典例】（多選）已知74（X1,戶），B（X2,”）是拋物線尸=2〃入（/?0）上的兩點(diǎn)，在兩點(diǎn)處的切

線相交于點(diǎn)Q，則下列說法中正確的是（）

A.當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時(shí)，阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為蒙日圓

B.若M為弦A8的中點(diǎn)，則"。與x軸平行（或重合）

C若弦4B過拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)。在拋物線的準(zhǔn)線上

D.若阿基米德三角形的底邊AB過焦點(diǎn)，M為弦AB的中點(diǎn)，則該三角形的面積最小值為2P

【答案】ABC

【解析】對于A,由蒙日圓的定義知A正確；

對于B,過點(diǎn)A的切線方程為yiy=/?（A+X））,①

過點(diǎn)8的切線方程為），2J=P（x+X2）,②

又

pl=2p%[,③

[yi=2P小，④

聯(lián)立①②③④，解得兩切線交點(diǎn)。（竽，三也

\2p2

...MQ與x軸平行（或重合）,B正確；

對于C,設(shè)Q（xo,yo）,

則直線AB的方程為yoy=/X-V+xo）,

又直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)噌，。），

0=pQ+&）,*,?xo=-,C正確；

對于D,若底邊A8過焦點(diǎn)，

則Q點(diǎn)的軌跡方程是.丫二

易驗(yàn)證女。八也8二-1,即。4_1_。8,

故阿基米德三角形為直角三角形，且。為直角頂點(diǎn)，???IQM=2;上+巳=江至+巳力生?+

224Pz4P

l=p,由B項(xiàng)分析可知，M。與x軸平行（或重合），

S&QAB=glQMIIyi-河

冽QM?J17而力〃2,

當(dāng)且僅當(dāng)“二時(shí)，等號成立，

???阿基米德三角形面積的最小值為p2,D錯(cuò)誤.

【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí)：60分鐘）

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共30分）

1.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是），軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.x2=±3yB./=±6.r

C.x2=±12y□y=±l2x

【答案】C

【解析】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=2py（p>0）或x2=-2py（p>0）,

依題意知］=3,，p=6.

，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A2=±12V.

2.已知拋物線C?=2度?>0）的焦點(diǎn)為凡P（xo，8）是C上一點(diǎn)，且尸到尸的距離與P

到C的對稱軸的距離之差為2,則〃等于（）

A.1B.1

C.2或4D.4或36

【答案】D

【解析】因?yàn)镻（xo,8）是。上一點(diǎn)，

所以蜉=16〃，所以品|=4萬，

由拋物線的定義可得P到F的距離為8+々，

點(diǎn)P到C的對稱軸的距離為所I,

則8+^—4萬=2,解得〃=4或〃=36.

3.已知拋物線C：）2=外的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,P是/上一點(diǎn)，0是直線P/7與C的一

個(gè)交點(diǎn)，若而=4而，則|。網(wǎng)等于（）

A.-B.-

22

C.3D.2

【答案】C

【解析】過點(diǎn)Q作QQ'_l于點(diǎn)Q',如圖.

'：FP=4FQ,

：.\PQ\：\PF]=3：4,

又焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的距離為4,

???IQQ=IQQ1=：3X4=3.

4

4.在平面直角坐標(biāo)系。沖中，拋物線C：）2=8X,P為x軸正半軸上一點(diǎn)，線段OP的垂

直平分線/交。于A,B兩點(diǎn)，若NOAP=60。，則四邊形OAP8的周長為（）

A.64B.646

C."D.絲

33

【答案】D

【解析】根據(jù)拋物線的對稱性以及A3為線段0戶的垂直平分線，

可得四邊形OAP8為菱形，

又NQ4Q=60。，可得乙40尸=60。，

故可設(shè)A（a,V3?）（6/>0）,

代入拋物線方程可得（V3a）2=8。，解得。,

故|。4|=2〃=學(xué)，

故四邊形。4P8的周長為4X—=—.

33

5.已知過拋物線C：V=2pNp>0）的焦點(diǎn)F的直線/垂直于x軸，且與拋物線C交于P,

。兩點(diǎn)，點(diǎn)E在x軸上，且|EF|=2.若如尸&卬=一2（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的準(zhǔn)線方程為

（）

A.x=-1B.x=—

2

3

C.x=~2D.x

2

【答案】A

【解析】由拋物線的方程)2=2px(p>0),

得FQ,0),

由拋物線的對稱性，

不妨設(shè)P),Q(9—P),

當(dāng)點(diǎn)石的坐標(biāo)為《+2,0)時(shí)，

切韋=2,"黑礦

222

因?yàn)閗oP-kEQ=-2,

所以2乂晟=-2,

則〃二-2(不符合題意，舍去)；

當(dāng)點(diǎn)石的坐標(biāo)為《一2,0)時(shí)，

MQE-2-P2，

因?yàn)镸EQ=-2,所以2x(-9=-2,

則〃=2,所以拋物線。的準(zhǔn)線方程為匯=一1.

6.已知工軸上一定點(diǎn)4"，0)(e0),和拋物線)，2=2px(p>0)上的一動點(diǎn)M,若HM2。恒

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,外B.(0,p]

C.(0,朗D.(0,2p]

【答案】B

【解析】設(shè)M(x(),和)(xo20),則%=2pxo,

所以|AM=J(Xo-a)2+yo

2

=J（x0-a）+2px0

2

=y]^-（2a-2p）x0+a,

因?yàn)镠M，。恒成立，

所以x]一（2〃-2p）xo+/NcP恒成立，

所以舒一（2a—2p）x（BU恒成立，

當(dāng)xo=O時(shí)，顯然恒成立，

當(dāng)xo>0時(shí)，xo22〃一2〃恒成立，

所以2a—2〃W0,貝ija&p,

又a>0,所以0<aWp,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為（0,〃].

二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共12分）

7.已知拋物線）2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)P（5,泗）在拋物線上，且|PF|=6,過點(diǎn)P作

PQJ_x軸于點(diǎn)。，則（）

A.p=2

B.拋物線的準(zhǔn)線為直線），二-1

C.），o=2百

DAOQ的面積為46

【答案】AD

【解析】拋物線y2=2p.Wp>0）的準(zhǔn)線為直線x=,

過點(diǎn)戶向準(zhǔn)線作垂線，垂足為M,由拋物線的定義可知|PF|=|PM=5+：=6,解得〃=

2,則拋物線的方程為）2=以，準(zhǔn)線為直線工=-1,故A正確，B錯(cuò)誤；

將x=5代入拋物線方程，解得y0=±2V5，故C錯(cuò)誤；

焦點(diǎn)尸(1,0),點(diǎn)尸(5,±2V5),即|PQ=2愿，所以SWQ=：X275X(5—1)=4遍，故D

正確.

8.已知拋物線V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,AB是經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F的弦，M是線段AB的

中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)4,B,M作拋物線的準(zhǔn)線/的垂線AC,BD,MN,垂足分別是C,D,N,

其中MN交拋物線于點(diǎn)°,連接QF,NF,NB,NA,則下列說法正確的是()

B.FN工AB

C.Q是線段MN的一個(gè)三等分點(diǎn)

D.ZQFM=ZQMF

【答案】ABD

【解析】如圖，由拋物線的定義，

得|AC=|AR,\BD\=\BF],

又眼川=吟蛆,

則IM*"硒；叫=,A正確；

由|MN]=T|AA|,\AM\=\MB\,

得=,所以NMAN=NMNA.

而/MNA=NCAN,所以NM4N=NCAN,

所以△ANC四△ANF,

可知NACN=NAFN=90°,

所以FNLAB,B正確；

在RtAMNF中,|QN|=I。月，可知NQNF=NQFN，所以NQ/M=NQM/，D正確；

由NQQW=NQM/,可知|QF|=|QM|,所以|QN|=|QM|,即。是MN的中點(diǎn)，C不正確.

三、填空題(每小題5分，共10分)

9.拋物線f=3的準(zhǔn)線方程是y=2,則實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】一/

【解析】由題意一上=2,解得。=—"

4a8

10.已知點(diǎn)M(20,40)不在拋物線C：產(chǎn)=2〃.丫(〃>0)上，拋物線C的焦點(diǎn)為尸.若對于拋物

線上的一點(diǎn)P,IPM+IPQ的最小值為41,則〃的值等于.

【答案】42或22

【解析】當(dāng)點(diǎn)M(20,40)位于拋物線內(nèi)時(shí)，如圖①，過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足

為D,

則|PQ=|戶。I,

|PM+|PR=|PM+|PD|.

當(dāng)點(diǎn)M,尸，。三點(diǎn)共線時(shí)，IPM+IP網(wǎng)的值最小.

由