建筑力學 第十二章

第十二章位移法

§12–1位移法的基本概念

§12–2位移法的基本未知量和基本結構

§12–3單跨靜定梁的桿端力

§12–4位移法典型方程和計算實例

第十二章位移法求解超靜定結構的兩種最基本的方法

力法適用性廣泛，解題靈活性較大。（可選用各種各樣的基本結構）。位移法在解題上比較規范，具有通用性，因而計算機易于實現。位移法可分為：手算——位移法 電算——矩陣位移法 力法位移法力法與位移法最基本的區別：基本未知量不同力法：以多余未知力基本未知量位移法：以某些結點位移基本未知量FPBB

在忽略桿軸向變形和剪切變形的條件下，結點B只發生角位移B。由于結點B是一剛結點，故匯交于結點B的兩桿的桿端在變形后將發生與結點相同的角位移。

位移法計算時就是以這樣的結點角位移作為基本未知量的。§12-1位移法的基本概念BAClhEI1EI2

首先，附加一個約束使結點B不能轉動，此時結構變為兩個單跨超靜定梁。稱為位移法的基本結構。在荷載作用下，可用力法求得兩根桿的彎矩圖。

由于附加約束阻止結點B的轉動，故在附加約束上會產生一個約束力矩CBAFPCAB

然后，為了使變形符合原來的實際情況，必須轉動附加約束以恢復B。兩個單跨超靜梁在B端有角位移時的彎矩圖，同樣可由力法求得。此時在附加約束上產生約束力矩BBBACFPBAC

求基本未知量,可分兩步完成：

1）在可動結點上附加約束，限制其位移，在荷載作用下，附加約束上產生附加約束力；

2）轉動附加約束使結點產生角位移B，使結構發生與原結構一致的結點位移。BB附加剛臂經過上述兩個步驟，附加約束上產生約束力矩應為F11和F1P之和。由于結構無論是變形，還是受力都應與原結構保持一致，而原結構在B處無附加約束，亦無約束力矩，故有F11+F1P＝0

解方程可得出B

。位移法典型方程將求出后B，代回圖12-1c，將所得的結果再與圖12-1b疊加，即得原結構（圖12-1a）的解。BBBAC圖12-1cFPCBA圖12-1b

位移法是以結點位移作為基本未知量，通過增加約束的方法，將原結構拆成若干個單跨超靜定梁來逐個分析，再組合成整體，利用力和力矩的平衡方程求解未知量的。§12-2位移法基本未知量和基本結構1.結點角位移一、位移法的基本未知量位移法的基本未知量為結點角位移和獨立結點線位移。結點角位移數目=剛結點的數目。2個結點角位移ABCD2、結構獨立線位移：（1）忽略各桿軸向變形；（2）彎曲變形后的曲線長度與弦線長度相等。上面兩個假設導致桿件變形后兩個端點距離保持不變，即桿長保持不變。

CD假設：12結點線位移數確定方法13

將結構中所有剛結點和固定支座用鉸結點和鉸支座代替，分析新體系的幾何組成性質，若為幾何可變體系，則通過增加支座鏈桿使其變為無多余約束的幾何不變體系，所增加的鏈桿數即為原結構位移法計算時的結點線位移數。二、位移法的基本結構位移法的基本結構是通過增加約束使原結構成為若干個單跨超靜定梁而得到的。

附加剛臂——附加鏈桿——作用是使結點不能轉動限制結點移動練習

位移法的基本結構是通過附加剛臂和附加鏈桿得到的，其中附加剛臂的數目等于原結構中結點角位移的數目，附加鏈桿的數目則等于原結構獨立線位移的數目。

§12-3單跨超靜定梁的桿端力一、桿端位移和桿端力的正負號規定1、桿端力的正負規定桿端彎矩對桿端以順時針為正;對結點以逆時針為正。桿端剪力的正向同前。MABMBAEIFQABFQBAlEI2、桿端位移的正負規定桿端轉角A、B，弦轉角β＝Δ/l都以順時針為正。

Δ——桿兩端相對線位移，其正負號與弦轉角β

的正負號一致。二、荷載引起的桿端力對于單跨超靜定梁僅由荷載作用而產生的桿端力，稱為固端力。等截面兩端固定梁，承受均布荷載q作用。用力法求解其固端力為MFABMFBAEIqlMF表示固端彎矩；FQF表示固端剪力。由于固端力是只與荷載形式有關的常數，所以稱為載常數。下表12-2列出了常見超靜定梁的載常數。表12-2常見超靜定梁的載常數表12-2常見超靜定梁的載常數三、桿端位移引起的桿端力等截面兩端固定梁，固定端A發生單位角位移，抗彎剛度EI，用力法求其桿端力為，

，

稱為線剛度。

由單位位移引起的桿端力是只與梁的幾何尺寸和材料性質有關的常數，所以稱為形常數。B=1ABlEI表12-1等截面單跨超靜定梁的形常數FPCABDΔ1Δ2一、位移法的典型方程§12-4位移法典型方程和計算實例基本未知量：結點C的角位移Δ1，結點D的水平線位移Δ2CABD基本結構基本體系FPCABDΔ1Δ2

使基本結構承受與原結構相同的荷載，并使結點C處的附加剛臂轉動Δ1，而結點D處附加鏈桿發生水平線位移Δ2，如圖示，稱為位移法的基本體系。

FPCABDΔ1Δ2

為了保證基本體系的受力和變形情況與原結構完全相同，基本體系上附加約束的約束反力F1和F2應為零。

根據疊加原理，把基本體系中的總約束反力F1和F2分解成幾種情況分別計算：FPCABDCABDΔ1CABDΔ2k11=1k21=1k12k22F1PF2PMP圖位移法基本方程

對于具有n個基本未知量的結構，可得位移法基本方程如下：

從方程中即可求出基本未知量Δ1和Δ2。位移法的典型方程kij產生反力的地方引起反力的原因主系數：副系數：反力互等定理：kij＝kjiFiP＞0＝0＜0kij＞0＝0＜0

kii

——基本結構上，由于單位結點位移Δi＝1的作用，引起第i個約束上的約束反力自由項：

kij——基本結構上，由于單位結點位移Δj＝1的作用，引起第i個約束上的約束反力

FiP——基本結構上，由于荷載作用，引起第i個約束上的約束反力為了求得典型方程中的系數和自由項，可借助于表12-1、表12-2，分別繪出基本結構中由于單位位移引起的單位彎矩圖M1、M2和由于外荷載引起的MP圖。

系數和自由項確定后，代入典型方程就可解出基本未知量。最后彎矩圖可按下式作出★附加剛臂上的約束力矩，可取利用結點力矩平衡的條件求出；★附加鏈桿上的約束力,可利用結構部分平衡（一般取橫梁部分沿附加鏈桿方位的投影平衡）的條件求出。

用位移法計算的步驟為：

1、加入附加約束，阻止結點的轉動和移動，得到一組以單跨超靜定梁為組合體的基本結構。

2、建立位移法典型方程。

3、繪出基本結構的各單位彎矩圖和荷載彎矩圖，由平衡條件求出各系數和自由項。

4、解方程，求出基本未知量。

5、用疊加法畫彎矩圖。

6、根據彎矩圖畫剪力圖，根據剪力圖繪軸力圖。1.連續梁和無側移剛架無側移剛架是指剛架的各結點無結點線位移。基本未知量：所有剛結點的轉角。基本結構：在所有剛結點上加附加剛臂。二、計算實例例12-1

用位移法計算圖示連續梁，并作彎矩圖。解（1）選取基本體系。（2）建立位移法典型方程。ABC3m3m6mii16kN2kN/mABC16kN2kN/mΔ118（3）求系數和自由項。（4）求基本未知量。2i4i3ik11ABCΔ1=14i3iF1P618ABC66MP圖（kN.m）182i4i3iABCΔ1=1ABC66MP圖（kN.m）

根據桿端彎矩的正負號規定，確定桿端彎矩方向及桿的受拉邊。將桿兩端彎矩連成虛線，再疊加相應簡支梁的彎矩，即得整個連續梁的彎矩圖。(5)作彎矩圖12.862.57924例17-2

用位移法作圖示剛架的內力圖。各桿EI＝常數。解（1）選取基本體系。（2）建立位移法典型方程。（3）求系數和自由項。（4）求基本未知量。(5)作彎矩圖根據彎矩圖作剪力圖

取桿件AB為隔離體，其受力圖如示，

取桿件為隔離體，根據力矩平衡方程，由桿端彎矩求桿端剪力。根據剪力圖作軸力圖取結點B為隔離體，其受力圖如示。

BC桿段是懸臂梁段且荷載與桿軸相垂直，因此該段各截面軸力相等，且等于零，即FNBC

＝0。FNBA＝7.5kN取結點為隔離體，利用投影平衡方程，由桿端剪力求桿端軸力。

有側移剛架一般是指既有結點角位移，又有結點線位移的剛架。基本未知量：剛結點的轉角和獨立結點線位移基本結構：在結點上加附加剛臂和附加鏈桿

2.有側移剛架例17-3

用位移法作圖示剛架的內力圖。

解（1）選取基本體系。（2）建立位移法典型方程。0.1875ik2215（3）求系數和自由項。k11＝4i+6i＝10i

k12＝k21＝-1.5i

（4）求基本未知量。(5)作彎矩圖18.9418.9425.2630.79超靜定結