統計學 第六章 統計指數

靜態指數是將不同空間（國家、地區、部門、行業等）的同類現象水平進行比較以，反映現象在空間上的差異程度第六章統計指數

靜態指數是將不同空間（國家、地區、部門、行業等）的同類現象水平進行比較以，反映現象在空間上的差異程度第六章統計指數第一節統計指數的概念和種類第二節綜合指數第三節平均指數第四節指數體系和因素分析

第一節統計指數的概念和種類一、統計指數的概念

統計指數的概念有廣義和狹義之分

例如2001年河南省國內生產總值為上年的109.1%，可以表述為2001年國內生產總值指數是109.1%

復雜現象：由許多度量單位不同或性質各異的個體組成、數量上不能直接加總的總體。二、統計指數的特點2、平均性1、綜合性三、統計指數的種類

1、按反映對象的范圍不同，分為個體指數和總指數

2、按反映對象的性質不同，分為數量指數和質量指數。

3、按選用的指標形式不同，分為總量指標指數和平均指標指數

4、按計算方法不同，分為綜合指數和平均指數

5、按對比基數時期不同，分為定基指數和環比指數

6、按指數對比性質的不同，分為動態指數和靜態指數

靜態指數是將不同空間（國家、地區、部門、行業等）的同類現象水平進行比較以，反映現象在空間上的差異程度

三、統計指數的作用

1、用以綜合反映和測定不能直接相加對比的事物總體的變動方向和程度。

2、

用以分析和測定事物的總變動中各個因素的影響方向和程度。

3、通過編制指數數列，還可以研究事物的較長時期內的變動趨勢。

第二節綜合指數

綜合指數編制要點：先綜合，再對比。這種按綜合法編制的總指數，叫綜合指數一、數量指數

例1

某地居民商品銷售量及價格統計表

商品名稱計量單位購買量價格（元）基期報告期基期報告期甲乙丙件支臺120100060100120010020.04.0290.026.05.0300.0合計—————

若以q表示商品購買量，p表示商品價格；0代表基期，1代表報告期根據資料可以計算出每種商品的購買量指數但是，由于三種商品的使用價值不同，計量單位不同，其購買量不能直接相加即

為此，我們引入價格這個媒介因素，使不能直接相加的購買量過渡到可以相加的購買額三種商品報告期的購買額這里的價格被叫做“同度量因素”同度量因素的作用：1、將“不同度量的現象”轉化為“同度量的現象”2、權數的作用價格的高低可以體現商品的重要性大小，價格高的商品其購買量變動對購買量總指數的影響較大，而價格低的商品其購買量變動對購買量總指數的影響較小

同度量因素時期的確定

為了單純反映購買量的變動情況，剔除價格變動因素的影響，必須選擇同一時期的價格作為同度量因素以符號表示：P—價格（同度量因素）q1—報告期購買量

q0—基期購買量

如果將同度量因素p固定在不同時期，則得到不同的綜合數量指數公式1、拉氏數量指數

計算結果表明，三種商品的購買量總指數為150.42%，表示綜合（平均）來看，三種商品的購買量增長了50.42%

上述公式中，分母∑q0p0為基期實際購買總額，分子∑q1p0為報告期購買商品按基期價格計算的購買總額，分子與分母的差異是由于購買量變動而引起的，因此其計算結果還顯示了購買量的總變動對購買總額的影響。由于購買量增長50.42%，使得購買總額也相應增長50.42%，增加的絕對額為：∑q1p0–∑q0p0=35800

–23800=120001864年，德國經濟學家拉斯配爾提出把同度量因素時期固定在基期，故稱拉氏指數2、帕氏數量指數

計算結果表明，三種商品的購買量總指數為147.78%，表示綜合（平均）來看，三種商品的購買量增長了47.78%；同時還表明購買總額也相應增長47.78%，增加的絕對額為12480元

1874年，德國經濟學家帕許提出把同度量因素時期固定在報告期，故稱帕氏指數在帕氏指數中，由于采用報告期價格作同度量因素，它不僅反映了購買量的影響，還包括了價格的影響3、把同度量因素固定在某一特定時期

在統計實踐中，計算數量指數時，為了便于各個時期的指數的相互對比，還經常采用不變價格或某一特定時期的價格作為同度量因素二、質量指數

下面以商品價格指數為例，說明其編制方法：例2

仍以例1某地居民商品銷售量及價格統計資料來編制商品價格指數根據資料可以計算出每種商品的價格指數

但是，由于三種商品的使用價值不同，計量單位不同，其購買價格不能直接相加，即：

為此，我們引入購買量這個媒介因素，使不能直接相加的價格過渡到可以相加的銷售額

為了單純反映購買量的變動情況，剔除價格變動因素的影響，必須選擇同一時期的價格作為同度量因素以符號表示：如果將同度量因素q固定在不同時期，則得到不同的綜合質量指數公式1、拉氏質量指數計算結果表明，三種商品的價格總指數為109.75%，表示綜合（平均）來看，三種商品的價格上升了9.75%

上述公式中，分母∑q0p0為基期實際購買總額，分子∑p1q0為假如以報告期的價格購買基期那么多數量的商品的購買額，分子與分母的差異完全是由于價格變動而引起的，因此其計算結果還顯示了價格的總變動對購買總額的影響。

由于價格增長9.75%，使得購買總額也相應增長9.75%，增加的絕對額為：∑p1q0–∑p0q0=26120–23800=2320元2、帕氏質量指數

計算結果表明，三種商品的價格總指數為107.82%，表示綜合（平均）來看，三種商品的價格上升了7.82%；同時還表明購買總額也相應增長7.82%，增加的絕對額為2800元。

在帕氏質量指數中，由于采用報告期購買額作同度量因素，它不僅反映了價格的影響，還包括了購買量的影響綜上所述，綜合指數的編制可以歸結為兩點：一是確定同度量因素二是選擇同度量因素所屬時期我國統計實踐，一般遵循以下原則來編制綜合指數：1、編制綜合數量指數時，以基期的質量指標作為同度量因素2、編制綜合質量指數時，以報告期的數量指標作為同度量因素3、特殊的綜合指數編制以不變價格或不變量作為同度量因素三、綜合指數的其他類型一般來說拉氏指數往往大于帕氏指數1、算術交叉法——“馬埃公式”由英國經濟學家馬歇爾和埃里奇等人于1887~1890年間提出，它對拉氏指數和帕氏指數的權數（同度量因素）進行了平均（權交叉）公式為：將例1資料帶入公式，可得：2、幾何交叉法——“理想公式”著名經濟學家費喧系統地總結了各種指數公式的特點，提出了對指數的三種測驗方法（時間互換測驗、因子互換測驗、循環測驗）。最后只有他提出的公式通過檢驗，所以稱為“理想公式”。與馬埃公式一樣，雖然從數量上不偏不倚，但缺乏經濟意義，所用資料較多，計算困難。是對拉氏指數和帕氏指數直接進行平均（型交叉）的結果，公式為：將例1資料帶入公式，可得：拉氏公式帕氏公式馬埃公式費喧公式購買量指數（%）150.42147.78149.04149.15價格指數（%）109.75107.82108.59108.78

拉氏、帕氏、馬埃、費喧指數比較表

在統計指數的發展中，還有其他很多方法，各種可用的指數公式達134種，一般認為比較優良的有13種，但在實際應用得比較廣泛的是拉氏指數和帕氏指數四、綜合指數的主要應用

綜合指數作為總指數的基本編制方法之一，在實踐中得到了廣泛的應用。在不同的場合需要應用不同形式的綜合指數。在選擇指數形式時，主要考慮指數的經濟意義，還要考慮實際編制工作的可能性及對指數分析性質的特殊要求。（一）工業生產指數

編制過程：首先，對各種工業產品分別制定相應的不變價格標準，記為P0

然后，逐項計算各種產品的不變價格產值，加總起來就得到全部工業產品的不變價格總產值最后將不同時期的不變價格總產值加以對比，就得到相應時期的工業生產指數

記t時期的不變價格總產值為∑qtpn(t=0,1,2,……)，則該時期的工業生產指數為：或

例3

某地區2003年按2000年不變價格計算的工業總產出為1400億元，2004年按2000年不變價格計算的工業總產出為1580億元，則該地2004年工業生產指數為：

計算結果表明2004年工業產品產量比2003年增長了22.86%，由于產量的增加，使得工業總產出增長22.86%，增加180億元。不變價格事實上只是一段時間不變，隨著經濟增長和價格水平的變化，不變價格也要不定期地變化。我國曾經使用過1952年、1957年、1965年、1970年、1980年、1990年和2000年不變價格當不變價格發生變化時，采用兩個不同時期的不變價格計算的工業總產出進行對比，就要消除不變價格變動的影響。方法：通過交替年不變價格指數解決

例4

某工業企業按1990年不變價格計算的1995年工業總產出為4000萬元，按2000年不變價格計算的2004年工業總產出為1.5億元，2000年按1990年和2000年兩種不變價格計算的工業總產出分別為1億元和1.2億元，求該企業2004年對1995年工業產品產量指數。

首先計算交替年2000年不變價格指數：其次，將按1990年不變價格計算的1995年工業總產出調整為按2000年不變價格計算的工業總產出：=4800（億元）

第三，求該企業的2004年對1995年工業產品產量指數：

計算結果表明，2004年工業產品產量比1995年增長了212.5%，由于產量增加，使得工業總產出增長212.5%，增加1.02億元（二）產品成本指數記產品產量為q，單位成本為z，則全部可比產品（基期實際生產過且計算期仍在生產的產品）的綜合成本指數通常采用帕氏公式來編制

該指數的分子與分母之差可以表示由于成本水平的降低（或提高），使得計算期所生產的那些產品的成本總額節約（超支）多少（三）空間價格指數空間價格指數又稱地域性價格指數，用于比較不同地區或國家各種商品價格的差異程度。是進行地區對比和國際對比的一種重要分析工具

假如要對比A、B兩個地區的價格水平，如果以B地區為對比的基準，采用拉氏指數編制價格指數

如果以A地區為對比的基準，采用拉氏指數編制價格指數

可以發現，這兩個互換對比基準的地區價格指數彼此之間不能保持一致。若采用帕氏指數也存在同樣問題，這在空間對比中是非常不利的。

如果一種指數公式給出的結果隨著基準地區的改變而改變，那就不適合空間對比的目的。可采用馬埃公式編制空間價格指數這樣得到的對比結論就不會受到對比基準變化的影響，而且其同度量因素反映了兩個對比地區的平均商品結構，具有實際經濟意義。在國際經濟對比中，該指數獲得了廣泛的應用（四）股票價格指數股票價格指數可以衡量整個股票市場價格的基本趨勢，是市場經濟的“晴雨表”股票價格指數的編制方法多種多樣，各有所長，綜合指數是其中的一種重要編制方法p—各種股票的價格q—股票發行量（或交易量）

我國的上證指數、深證指數、香港的恒生指數、美國的SP500指數等，都是采用綜合公式編制的第三節平均指數

從計算形式上看，平均指數分為算術平均指數和調和平均指數。一、算術平均指數算術平均指數是個體指數的加權算術平均數。當綜合指數公式的分子未知，而知道個體指數和分母資料時，可用算術平均指數編制總指數。

（一）數量指數

1、以拉氏數量指數的分母為權數，計算公式為：

……（1）

2、以帕氏數量指數的分母為權數，計算公式為：……（2）（二）質量指數算術平均質量指數也有兩種形式：1、以拉氏質量指數的分母為權數，其計算公式為：……（3）

2、以帕氏質量指數的分母為權數，其計算公式為：

…….（4）

算術平均指數的四個公式中，以(1)式和(3)式意義較大。如果與綜合指數的編制原則相對應，則通常只采用(1)式。

例5

某彩色電視機生產廠生產的兩種家用電器的有關資料如下。試計算該廠的產量總指數。品名基期產值（萬元）個體產量指數彩色電視機VCD200021001.51.1合計4100—

計算結果表明，該企業家電產量比基期增長了25.9%，由于產量增加，使得總產值增長25.9%，增加210萬元（5310–4100）二、調和平均指數

調和平均指數是個體指數的加權調和平均數。當綜合指數公式的分母未知，但知道分子和個體指數時，可用調和平均指數編制總指數。（一）數量指數

1、以拉氏數量指數的分子為權數，其計算公式為：

……（5）2、以帕氏數量指數的分子為權數，其計算公式為：……（6）

（二）質量指數

調和平均質量指數是對個體質量指數進行加權調和平均而得到的指數。按所用權數不同，分為以下兩種情況：1、以拉氏質量指數的分子作權數，其計算公式為：……（7）2、以帕氏質量指數的分子作權數，其計算公式為：

……（8）以上四種調和平均數公式中，(5)式和(7)式的意義不大。而(6)和(8)式又以(8)式為常用，因為數量指數一般不以報告期資料作權數例6：某彩色電視機廠的報告期產值和個體價格指數如下，試計算該廠的價格總指數品名報告期產值（萬元）個體價格指數彩色電視機VCD240020790.80.9合計4479—

計算結果表明，該企業家電價格比基期下降了15.6%，由于價格下降，使得總產值下降了15.6%，減少831萬元（4479–5310）平均指數的基本編制原理：（1）為了對復雜現象總體進行對比分析，首先對構成總體的個別元素計算個體指數，所得到的無量綱化的相對數是編制總指數的基礎（2）為了反映個別元素在總體中的重要性的差異，必須以相應的總值指標作為權數對個體指數進行加權平均，就得到說明總體現象數量對比關系的總指數

三、固定權數平均指數固定權數平均指數是在平均指數的計算公式中，將其權數長期固定在某個特定基期。實際工作中，無論是加權算術平均數指數或者是加權調和平均數指數，往往采用經濟發展比較穩定的某一時期的價值總量結構作為固定的權數，一經確定便沿用5至10年不變固定加權算術平均指數固定加權調和平均指數

四、平均指數的主要應用在實際應用中，平均指數同樣面臨指數公式和編制方法選擇問題。（一）工業生產指數在我國，工業生產指數是通過不變價格總產值的形式來編制的，在國外較為普遍地采用平均指數的形式編制工業生產指數計算公式為：（二）居民消費價格指數綜合反映物價變動的價格指數，與生產者的利益和人民生活、經濟發展與社會穩定密切相關，是各國政府非常重視并且一直在編制的經濟指數，只是名稱有所不同。我國政府統計部門編制并發布的是居民消費價格指數（C0nsumerpriceindices,CPI）例72004年某地居民消費價格指數及類指數消費類別代表品平均價格（元/千克）指數（%）k權數（%）w指數×權數k×w基期報告期食品糧食細糧大米面粉粗糧淀粉和薯類干豆及豆制品油脂禽極其制品蛋水產品菜調味品糖煙草酒和飲料干鮮瓜果糕點奶及制品其他食品飲食業1.902.001.851.9396.196.997.097.496.594.296.791.394.590.791.693.3101.0100.691.596.398.097.8100.399.399.599.943.2711.1594.9152.4347.575.091.041.613.8221.293.397.4510.071.511.204.914.937.782.092.911.8912.9641.510.892.151.145.94.81.01.53.619.33.17.010.21.51.14.74.87.62.12.91.912.9合計—100.0096.1消費類別指數（%）權數（%）指數×權數一.食品類二.衣著類三.家庭設備及用品四.醫療保健用品五.交通和通信工具六.娛樂教育文化用品七.居住八.服務項目96.197.397.7100.994.596.8101.7110.643.2710.2112.593.446.815.884.9812.8241.59.912.36.45.05.75.114.2合計—100.0098.6居民消費價格總指數的計算編制步驟第一步：計算代表品個體指數第二步：計算小類指數第三步：計算中類指數第四步：計算大類指數第五步：計算總指數（三）商品零售價格指數（四）農產品收購價格指數第四節

指數體系及因素分析

一、指數體系及其作用（一）指數體系的概念

指數體系是事物或現象之間的靜態聯系在動態上的推廣。

在現實生活中，現象之間客觀上存在著廣泛的聯系例如：銷售額=銷售量×銷售價格總成本=產量×價格工資總額=職工人數×平均工資將這些靜態聯系推廣到動態上，即有如下指數體系

銷售額指數=銷售量指數×銷售價格指數總成本指數=產量指數×單位成本指數工資總額指數=職工人數指數×平均工資指數這種由三個或三個以上的指數構成，并存在一定數量關系的指數系列，就是指數體系。（二）指數體系的作用

1、可以進行指數間的相互推算

例8

已知某工業企業為了增產26%，而生產支出總額只能比基期增加12%，則產品成本指數預計為：1.12÷1.26=89%，亦即要求產品成本比基期降低11%，才能達到上述增產的目標。

2、指數體系是進行因素分析的依據之一二、總量變動的因素分析（一）兩因素分析總量指標兩因素分析一般利用如下指數體系：總指數=數量指數×質量指數用符號表示為：例9

某商場家電部的三種商品的銷售量及價格資料如下：商品計量單位銷售量價格（元）銷售額（元）q0

q1

P0

P1

p0q0

p0q1

p1q1

甲乙丙臺部件20255030206020008003002200780350400002000015000600001600018000660001560021000合計—————7500094000102600第一步：分析銷售額總變動，計算銷售額總指數

計算結果說明本月該商場三種商品的總銷售額比上月增加了36.8%，增加的總金額為27600元

第二步：分析影響銷售額變動的因素1.銷售量變動的影響

計算結果說明由于銷售量的變動，使得該商場本月三種商品的總銷售額比上月增加了25