2021年福建省莆田市第七中學高三數學理月考試卷含解析

2021年福建省莆田市第七中學高三數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的10.若變量滿足約束條件則的最大值等于（

）A.7

B.8

C.10

D.11參考答案：C2.直線截圓所得的兩段弧長之差的絕對值是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C3.下列結論正確的是（）（A）當（B）的最小值為2

（C）當時，的最小值為（D）當時，有最大值.參考答案：D略4.函數的圖象可能是下面的圖象(

)A. B. C. D.參考答案：C因為，所以函數的圖象關于點（2,0）對稱，排除A，B．當時，，所以，排除D．選C．5.設是銳角，若，則的值為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B6.已知拋物線C:的焦點為F，過F且傾斜角為120°的直線與拋物線C交于A，B兩點，若AF，BF的中點在y軸上的射影分別為M，N，且，則p的值為（

）A.2 B.3 C.4 D.6參考答案：D【分析】通過，可知，假設直線代入，整理出韋達定理的形式，從而構造出關于的方程，求得結果.【詳解】有題意知：設直線方程為：，即代入拋物線方程可得：設，，則，由可得：即：解得：本題正確選項：【點睛】本題考查直線與拋物線的問題，關鍵是能夠利用韋達定理表示出線段長度，從而構造出方程，使問題得以求解.

7.已知a，b∈R，不等式組表示的平面區域為M，不等式組表示的平面區域為N.在平面區域M內有一粒豆子隨機滾動，則該豆子始終滾不出平面區域N的概率是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】作出平面區域，計算區域的面積，根據幾何概型的概率公式可得答案.【詳解】如圖所示，不等式組表示的平面區域為圖中的陰影部分所表示的區域，易知直線分別交直線與軸于點，.所以，.所以，易得，因此，故陰影部分的面積，于是豆子始終滾不出平面區域的概率為.故選：A【點睛】本題考查了幾何概型的面積型的概率公式，準確求出面積是解題關鍵，屬于基礎題.8.函數，則下列結論正確的是（

）

A、函數在上為增函數

B、函數的最小正周期為4C、為奇函數

D、函數無最小值參考答案：D略9.若恒成立，其中

（

）

A.

B．

C．

D.參考答案：A10.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，則C的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由已知條件，利用余弦定理求出|AF|，設F′為橢圓的右焦點，連接BF′，AF′．根據對稱性可得四邊形AFBF′是矩形，由此能求出離心率e．【解答】解：如圖所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，設F′為橢圓的右焦點，連接BF′，AF′．根據對稱性可得四邊形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故選B．【點評】本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意余弦定理、橢圓的對稱性等知識點的合理運用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在下列四個圖所表示的正方體中，能夠得到AB⊥CD的是．參考答案：①②【考點】空間中直線與直線之間的位置關系．【專題】空間位置關系與距離．【分析】利用正方體的性質以及三垂線定理對四個正方體中的AB，CD分別分析解答．【解答】解：對于①，通過平移AB到右邊的平面，可知AB⊥CD，所以①中AB⊥CD；對于②，通過作右邊平面的另一條對角線，可得CD垂直AB所在的平面，由三垂線定理得到②中AB⊥CD；對于③，可知AB與CD所成的角60°；對于④，通過平移CD到下底面，可知AB與CD不垂直．所以能夠得到AB⊥CD的是①和②．故答案為：①②【點評】本題考查了空間幾何體中，線線關系的判斷；考查學生的空間想象能力．12.設i為虛數單位，則復數=

．參考答案：﹣4﹣3i【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】直接由復數代數形式的乘除運算化簡復數得答案．【解答】解：=，故答案為：﹣4﹣3i．13.曲線y=sinx+ex在點（0，1）處的切線方程是．參考答案：y=2x+1【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】方程思想；導數的概念及應用．【分析】求出函數y=sinx+ex的導數，求得切線的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切線的方程．【解答】解：y=sinx+ex的導數為y′=cosx+ex，在點（0，1）處的切線斜率為k=cos0+e0=2，即有在點（0，1）處的切線方程為y=2x+1．故答案為：y=2x+1．【點評】本題考查導數的運用：求切線的方程，考查導數的幾何意義，正確求導和運用直線方程是解題的關鍵．14.如圖所示，已知F1，F2是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，則橢圓C的離心率為

。參考答案：略15.已知，則A=_________，b=__________．參考答案：；1．試題分析：由題意得，,所以.考點：1.二倍角公式；2.三角恒等變換.16.函數為奇函數，則增區間為

參考答案：略17.下列四個命題：①直線與圓恒有公共點；②為△ABC的內角，則最小值為；③已知a，b是兩條異面直線，則過空間任意一點P都能作并且只能作一條直線與a，b都垂直；④等差數列{}中，則使其前n項和成立的最大正整數為2013;其中正確命題的序號為

。（將你認為正確的命題的序號都填上）參考答案：①③略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.等比數列的各項均為正數，且，（1）求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和.參考答案：解：(1)設數列的公比為q，由得，所以，由條件可知各項均為正數，故，由，故數列的通項公式為(2)故則所以數列的前n項和為略19.已知梯形ABCD中AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x．沿EF將梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．G是BC的中點．（1）當x=2時，求證：BD⊥EG；（2）當x變化時，求三棱錐D﹣BCF體積的最大值．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】（1）利用面面垂直的性質證線面垂直，由線面垂直?線線垂直，再由線線垂直證線面垂直，由線面垂直的性質證得線線垂直；（2）根據題意先求得棱錐的高，再根據體積公式求三棱錐的體積即可，從而可求三棱錐D﹣BCF體積的最大值．【解答】（1）證明：作DH⊥EF，垂足H，連結BH，GH，∵平面AEFD⊥平面EBCF，交線EF，DH?平面AEFD，∴DH⊥平面EBCF，又EG?平面EBCF，故EG⊥DH．∵EH=AD=BC=BG，EF∥BC，∠ABC=90°．∴四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH．

又BH、DH?平面DBH，且BH∩DH=H，故EG⊥平面DBH．又BD?平面DBH，∴EG⊥BD．

（2）解：∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交線EF，AE?平面AEFD．∴AE⊥面EBCF．又由（1）DH⊥平面EBCF，故AE∥DH，∴四邊形AEHD是矩形，DH=AE，故以F、B、C、D為頂點的三棱錐D﹣BCF的高DH=AE=x．

又S△BCF==8﹣2x，（0＜x＜4）．

∴三棱錐D﹣BCF的體積f（x）=?AE=（8﹣2x）x=，（0＜x＜4）．

∴x=2時，最大值為．20.已知橢圓的焦距為，離心率為.（1）求橢圓方程；（2）設過橢圓頂點，斜率為的直線交橢圓于另一點，交軸于點，且成等比數列，求的值.參考答案：解：（Ⅰ）由已知，.

……………2分解得，

……………4分所以，橢圓的方程為.

……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得過點的直線為，由

得，

……………6分所以，所以，

……………8分依題意，.因為成等比數列，所以，

……………9分所以，即，

……………10分當時，，無解，

……………11分當時，，解得，

……………12分所以，解得，所以，當成等比數列時，.

……………13分略21.為了解某市高三數學復習備考情況，該市教研機構組織了一次檢測考試，并隨機抽取了部分高三理科學生數學成績繪制如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據頻率分布直方圖，估計該市此次檢測理科數學的平均成績；（精確到個位）（2）研究發現，本次檢測的理科數學成績X近似服從正態分布（，約為19.3），按以往的統計數據，理科數學成績能達到自主招生分數要求的同學約占40%.（ⅰ）估計本次檢測成績達到自主招生分數要求的理科數學成績大約是多少分？（精確到個位）（ⅱ）從該市高三理科學生中隨機抽取4人，記理科數學成績能達到自主招生分數要求的人數為Y，求Y的分布列及數學期望．（說明：表示的概率.參考數據：，）參考答案：解：（1）該市此次檢測理科數學成績平均成績約為：…3分（2）（ⅰ）記本