第1章 勾股定理 單元測試卷（含答案）初中數學北師大版（新教材）八年級上冊

八年級數學上冊第1章勾股定理單元測試卷北師大版（2024）A層（基礎訓練）1．下列各組數中，是勾股數的是（）A．2，3，5 B．4，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，12．等腰三角形的一腰長為13，底邊長為10，則它的面積為（）A．65 B．60 C．120 D．1303．如圖，一架梯子AB斜靠在一豎直的墻MO上，測得AO＝4m．若梯子的頂端沿墻下滑1m，這時梯子的底端在水平地面上也恰好外移1m，則梯子AB的長度為（）A．5m B．6m C．3m D．7m4．如圖，在水平地面上，有一棵高9m的大樹和一棵高4m的小樹，兩樹之間的水平距離是12m．若一只小鳥從小樹的頂端飛到大樹的頂端，則小鳥至少飛行m．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c．（1）若a＝40，c＝41，則b＝；（2）若c＝13，b＝5，則a＝；（3）若a：b＝3：4，c＝15，則a＝，b＝．6．如圖，所有陰影四邊形都是正方形，兩個空白三角形均為直角三角形，且B、C、D三個正方形的邊長分別為5、6、10，則正方形A的面積為．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，將△ABC折疊，使點A恰好落在邊BC的中點D處，折痕交邊AC于點E，交邊AB于點F，求AE的長．8．如圖，直線MN表示一條鐵路，A，B是兩個城市，它們到鐵路的垂直距離分別為AA1＝20km，BB1＝40km，已知A1B1＝80km．現要在點A1，B1之間設一個中轉站P，使兩個城市到中轉站的距離之和最?。埬愦_定點P的位置，并求出這個最小距離．9．勞動教育是新時代教育體系中的重要組成部分．如圖，△ABC區域是云巖區某學校為勞動課開辟的勞動場地，小路AD將場地分為“水果培育”和“蔬菜種植”兩個部分，現用皮尺測量得到AB＝13m，AC＝15m，AD＝12m，BD＝5m．（1）請判斷小路AD是否與BC垂直，并說明理由；（2）求勞動場地△ABC的面積．B層（能力提升）10．一個直角三角形的兩邊長分別是3和7，則第三邊長的平方為．11．若△ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，則△ABC的面積是．12．如圖，已知圓柱底面的周長為12cm，高為8cm，在圓柱的側面與底面的交點處，過點A和點C嵌有一圈金屬絲（點A與點C相對），則這圈金屬絲的長度的最小值為．13．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，E是AB的垂直平分線FG上的動點，D是邊BC上的動點，則BE+DE的最小值的平方是．C層（思維拓展）14．圖1、圖2、圖3分別是直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形，BC＝a，AC＝b，AB＝c，其中AB是最長邊．（1）如圖1，由勾股定理可得a，b，c的數量關系是．（2）如圖2，過點B作BD⊥CA于點D，設CD＝x．在Rt△BCD中，BD2＝a2﹣x2；在Rt△BAD中，BD2＝c2﹣（b﹣x）2，∴a2﹣x2＝c2﹣（b﹣x）2．化簡，得a2+b2＝c2+2bx．b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a，b，c的數量關系是．（3）試猜想在鈍角三角形中a，b，c的數量關系，并利用圖3證明你的猜想．

參考答案A層（基礎訓練）1．解：根據勾股數需滿足兩個條件逐項分析判斷如下：A選項，∵22+32＝4+9＝13，52＝25，13≠25，∴不是勾股數；B選項，∵42+122＝16+144＝160，132＝169，160≠169，∴不是勾股數；C選項，∵72+242＝49+576＝625＝252，且三個數均為正整數，∴是勾股數；D選項，∵三個數不全是正整數，∴不是勾股數；故選：C．2．解：如圖所示：∵等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC于點D，∴BD＝BC＝×10＝5，∴AD＝＝＝12，∴S△ABC＝BC?AD＝×10×12＝60．故選：B．3．解：由題意，得：AC＝BD＝1米，AB＝CD∴OC＝OA﹣AC＝3米，設OB＝x，則OD＝OB+BD＝x+1，在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，在Rt△COD中，CD＝OC2+OD2，∵AB＝CD，∴OA2+OB2＝OC2+OD2，即：42+x2＝32+（x+1）2，解得：x＝3，∴OB＝3米，∴AB＝＝5（m）．故選：A．4．解：如圖，設大樹高為AB＝9m，小樹高為CD＝4m，過C點作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形，連接AC，∴EB＝4m，EC＝12m，AE＝AB﹣EB＝9﹣4＝5m，在Rt△AEC中，AC＝＝＝13（m）．故小鳥至少飛行13m，故答案為：13．5．解：根據勾股定理可得：a2+b2＝c2，（1）∵b2＝c2﹣a2＝412﹣402＝81，b＞0，∴b＝9；故答案為：9；（2）∵a2＝c2﹣b2＝132﹣52＝122，a＞0，∴a＝12；故答案為：12；（3）設a＝3x，b＝4x，又∵a2+b2＝c2，c＝15，∴（3x）2+（4x）2＝152，∴x＝3（負值舍去），∴a＝9，b＝12．故答案為：9；12．6．解：設正方形A的面積為x，∵正方形B、C、D的邊長分別為5、6、10，∴正方形B、C、D的面積分別為25、36、100，根據圖形得：x+25＝100﹣36，解得：x＝39，故答案為：39．7．解：∵BC＝8，將△ABC折疊，使點A恰好落在邊BC的中點D處，折痕交邊AC于點E，∴DE＝AE，CD＝BD＝BC＝×8＝4，∵∠C＝90°，AC＝6，∴CE2+CD2＝DE2，CE＝6﹣AE，∴（6﹣AE）2+42＝AE2，解得AE＝，∴AE的長是．8．解：如圖，延長AA1到D使A1D＝AA1，連接BD交MN于P，則PA+PB的最小值＝BD，過D作DE⊥BB1交BB1于E，∵AA1＝20km，BB1＝40km，A1B1＝80km，∴DE＝80km，BE＝60km，∴BD＝＝100km，∴這個最短距離是100km．9．解：（1）AD與BC垂直，理由：∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD為直角三角形且∠ADB＝90°，∴AD與BC垂直；（2）∵AD⊥BC，∴AD2+CD2＝AC2，∴CD＝＝＝9（m），∴S△ABC＝AD?BC＝AD×（BD+CD），∵BD+CD＝5+9＝14（m），∴S△ABC＝（m2）．B層（能力提升）10．解：當第三邊是斜邊時，則有第三邊的平方＝32+72＝58；當第三邊是直角邊時，則有第三邊的平方＝72﹣32＝40．則第三邊長的平方為58或40．故答案為：58或40．11．解：已知等式整理得：（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+（c2﹣10c+25）＝0，即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，解得：a＝3，b＝4，c＝5，∵32+42＝52，∴△ABC為直角三角形．∴△ABC的面積＝×3×4＝6．故答案為：6．12．解：如圖，把圓柱的側面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為2AC的長度．∵圓柱底面的周長為12cm，圓柱高為8cm，∴AB＝8cm，BC＝BC′＝6cm，∴AC2＝82+62＝100，∴AC＝10cm，∴這圈金屬絲的周長最小為2AC＝20cm．故答案為：20cm．13．解：連接AE，∵E是AB的垂直平分線FG上的動點，∴AE＝BE，∴BE+DE的最小值即為AE+DE的最小值，∴當點A，E，D三點共線且AD⊥BC時，AE+DE的值最小，且AE+DE的最小值＝AD，∵AB＝AC＝6，BC＝4，∴BD＝BC＝2，∴AD＝＝4，即BE+DE的最小值的平方是32，故答案為：32．C層（思維拓展）14．解：（1）由勾股定理得，a2+b2＝c2，故答案為：a2+b2＝c2；（2）故答案為a2+b2＞c2；（3）當△ABC為鈍角三角形時，a2+b2與c2的大小關系為：a2+b2＜c2，證明：如圖3，過點A作AH⊥BC