第2章 特殊三角形 單元測試卷（含答案）初中數學浙教版（新教材）八年級上冊

八年級數學上冊第2章特殊三角形單元測試卷浙教版（2024）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．2022年北京冬奧會會徽“冬夢”以漢字“冬”為靈感來源，運用中國書法的藝術形態，將厚重的東方文化底蘊與國際化的現代風格融為一體．以下是參選的會徽設計的一部分圖形，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．已知一個等腰三角形的兩條邊長分別是3和7，則它的周長是（）A．13 B．17 C．13或17 D．143．等腰三角形的一個外角是95°，則它底角的度數是（）度．A．85 B．47.5或95 C．85或47.5 D．無法確定4．下列命題為真命題的是（）A．三個角對應相等的兩個三角形全等 B．等腰三角形的底角必為銳角 C．等腰三角形的頂角一定是銳角 D．每個定理都有逆定理5．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，點E在AD上，且DE＝BC，則∠AFE＝（）A．100° B．105° C．110° D．115°6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分線DE交AC于點E，交AB于點D，連接BE，則∠EBC的度數是（）A．26° B．54° C．36° D．72°7．如圖，已知射線OM，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，再以點A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，畫射線OB，作BD⊥OA，垂足為D，那么∠OBD的度數是（）A．90° B．60° C．45° D．30°8．如圖，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，連接AE，BD交于點F，則BF的長為（）A． B． C． D．9．如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF＝CF．其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①10．如圖，在△ABC中，BC＝15，BP，CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，DP∥AC交BC于點D，PH⊥AB于點H，若PH＝3，BH＝6，則DC的長是（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）11．如圖，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝38°，則∠2的度數是．12．已知a，b是等腰三角形的兩邊長，且滿足（a﹣5）2+|b﹣7|＝0，等腰三角形的周長為．13．等腰三角形兩底角相等的逆命題是．14．如圖，在等邊△ABC中，D是BC上一點，DE⊥AC于點E，若∠DAE＝45°，則∠ADC的度數為．15．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一點，F是AB的中點，AD＝14，DE＝16，若EF⊥DF，則BE的長度是．16．如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的頂點A在△ECD的斜邊DE上．下列結論：①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2，這些結論中正確的是．三、解答題（本大題共8小題，共72分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，點A，B，C均在小正方形的頂點上．（1）在圖中畫出與△ABC關于直線l成軸對稱的△A'B'C'；（2）在直線l上找一點P，使得△APC的周長最?。唬?）求△ABC的面積．18．如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7米，梯子頂端到地面的距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離A'D為1.5米．（1）梯子AB的長是多少？（2）求小巷的寬．19．如圖，在等邊三角形ABC的AC，BC邊上各取一點P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于點O．求∠BOQ的度數．20．已知：如圖，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF．求證：BD＝CE．21．已知如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，DG⊥CE于G，CD＝AE．求證：CG＝EG．22．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點D是邊BC上一點，DE⊥AB于點E，點F是線段AD的中點，連接EF，CF．（1）求證：EF＝CF；（2）若∠BAC＝45°，AD＝6，求C，E兩點間的距離．23．（1）問題發現如圖1，已知△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE，求∠AEB的度數．（2）拓展探究如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE；求：①∠AEB的度數；②線段CM，AE，BE之間的數量關系，并說明理由．24．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒．（1）當t＝2秒時，求PQ的長；（2）求出發時間為幾秒時，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向運動，則當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．解：A，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；B選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：B．2．解：已知一個等腰三角形的兩條邊長分別是3和7，則：當3為腰時，3+3＜7，不符合三角形三邊關系，當7為腰時，等腰三角形的三邊為：7、7、3，可以構成三角形，∴等腰三角形的周長為：7+7+3＝17，故選：B．3．解：如果等腰三角形底角的一個外角是95°，∴它底角的度數是180°﹣95°＝85°；如果等腰三角形頂角的外角是95°，∴它底角的度數是×95°＝47.5°，∴等腰三角形底角的度數是47.5°或85°．故選：C．4．解：A．三個角對應相等的兩個三角形不一定全等，是假命題；B．該說法正確，是真命題；C．等腰三角形的頂角不一定是銳角，也可以是直角或鈍角，所以該命題是假命題；D．每個定理不一定有逆定理，是假命題；故選：B．5．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC邊上的中線，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故選：B．6．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝36°，∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝36°．故選：C．7．解：如圖，連接AB，由題意得：OA＝OB＝AB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠OBA＝60°，∵BD⊥OA，∴∠OBD＝∠OBA＝×60°＝30°，故選：D．8．解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∴∠BFA＝∠ACB＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，∴∠ABC＝45°，AB＝2，∵∠CBD＝15°，∴∠ABF＝60°，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝，故選：B．9．解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周長AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．故選：A．10．解：∵DP∥AC，∴∠CPD＝∠ACP，∵CP平分∠ACB，∴∠PCD＝∠ACP，∴∠PCD＝∠CPD，∴CD＝PD，過P作PM⊥BC于M，設DC＝x，∴BP平分∠ABC，PH⊥AB于點H，∴PM＝PH＝3，∵PB＝PB，∴Rt△PBM≌Rt△PBH（HL），∴BM＝BH＝6，∴MD＝BC﹣MB﹣CD＝15﹣6﹣x＝9﹣x，由勾股定理得到：PD2＝PM2+MD2，∴x2＝32+（9﹣x）2，∴x＝5，∴DC＝5．故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）11．解：如圖所示，∵DB⊥BC，∴∠1+∠3＝90°．∵∠1＝38°，∴∠3＝90°﹣38°＝52°．∵AB∥CD，∴∠2＝∠1＝52°．故答案為：52°．12．解：∵（a﹣5）2+|b﹣7|＝0，∴a﹣5＝0，b﹣7＝0，∴a＝5，b＝7，當等腰三角形的腰長是5時，∵5+5＞7，滿足三角形三邊關系定理，∴此時等腰三角形的周長＝5+5+7＝17；當等腰三角形的腰長是7時，∵5+7＞7，滿足三角形三邊關系定理，∴此時等腰三角形的周長＝5+7+7＝19，∴等腰三角形的周長是17或19．故答案為：17或19．13．解：命題等腰三角形兩底角相等的條件是如果一個三角形是等腰三角形，結論是這個三角形的兩底角相等，故等腰三角形兩底角相等的逆命題為：如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形，故答案為：如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形．14．解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠C＝60°，∵∠DAE＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．故答案為：75°．15．解：延長DF交CB的延長線于點H，如圖所示：∵AD∥BC，EF⊥DF，∴AD∥BH，EF⊥DH，∴∠H＝∠FDA，∠FBH＝∠A，∵F是AB的中點，∴BF＝AF，在△BFH和△AFD中，，∴△BFH≌△AFD（AAS），∴BH＝AD＝14，FH＝FD，∵EF⊥DH，FH＝FD，∴EF是HD的垂直平分線，∴HE＝DE＝16，∴BE＝HE﹣BH＝16﹣14＝2．故答案為：2．16．解：①依題意得：AC＝BC，EC＝DC，∠ECD＝∠ACB＝90°，∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），故結論①正確；②設∠ACE＝∠BCD＝α，由等腰直角三角形性質得：∠E＝∠CDE＝∠CAB＝45°，在△ACE中，∠CAE＝180°﹣（∠E+∠ECA）＝180°﹣（45°+α）＝135°﹣α，∵△ABC的頂點A在△ECD的斜邊DE上，∴∠DAB+∠CAB+∠CAE＝180°，∴∠DAB＝180°﹣（∠CAB+∠CAE）＝180°﹣（45°+135°﹣α）＝α，∴∠DAB＝∠ACE＝α，故結論②正確；③不妨假設AE+AC＝AD，在DA上截取FD＝AE，連接CF，如圖所示：由等腰直角三角形性質得：∠CDF＝∠E＝45°，在△CDF和△CEA中，，∴△CDF≌△CEA（SAS），∴FC＝AC，∵AD＝AF+DF＝AF+AE，AE+AC＝AD，∴AE+AC＝AF+AE，∴AC＝AF，∴FC＝AC＝AF，∴△ACF是等邊三角形，∴∠CAF＝60°，∴∠DAB＝∠CAF﹣∠CAB＝15°，由結論②正確得：∠ACE＝∠DAB＝15°，根據已知條件得：∠ACE不一定等于15°，故結論③不一定正確；④在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝2AC2，由結論①正確得：△ACE≌△BCD，∴∠E＝∠BDC＝45°，AE＝BD，∴∠ADB＝∠CDE+∠BDC＝90°，∴△ABD是直角三角形，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2＝BD2+AD2，∴BD2+AD2＝2AC2，∵AE＝BD，∴AE2+AD2＝2AC2，故結論④正確；綜上所述：結論正確的是①②④．故答案為：①②④．三、解答題（本大題共8小題，共72分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求；（2）如圖，點P即為所求；（3）△ABC的面積＝2×4﹣2×1﹣1×4﹣1×3＝．18．解：（1）在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米）．∴AB＝2.5（米）．答：梯子AB的長是2.5米（2）在Rt△A'BD中，∵∠A'DB＝90°，AD＝2米，BD2+A'D2＝A'B2，∴BD2+1.52＝6.25，∴BD2＝4．∵BD＞0，∴BD＝2米．∴CD＝BC+BD＝0.7+2＝2.7（米）．答：小巷的寬度CD為2.7米．19．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAP＝∠ACQ＝∠ABQ，AB＝AC＝BC，∵在△ABP和△ACQ中，，∴△ABP≌△CAQ（SAS），∴∠ABP＝∠CAQ，∠BAQ+∠CAQ＝60°，∴∠BAQ+∠ABP＝60°，∵∠BOQ＝∠BAQ+∠ABP，∴∠BOQ＝60°．20．證明：連接AC，AD，如圖所示：在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∠ACB＝∠ADE，在△ACD中，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ACB+∠ACD＝∠ADE+∠ADC，即∠BCD＝∠CDE，在△BCD和△EDC中，，∴△BCD≌△EDC（SAS），∴BD＝CE．21．證明：如圖，連接DE，∵AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，∴DE＝AB＝AE＝CD，∵DG⊥CE于G，由“等腰三角形三線合一”知，CG＝EG．22．（1）證明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵點F是斜邊AD的中點，∴EF＝AD，CF＝AD，∴EF＝CF；（2）解：連接CE，由（1）得EF＝AF＝CF＝AD＝3，∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴CE＝＝＝3．即C，E兩點間的距離是3．23．解：（1）∵△ACB和△DCE是等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△CD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等邊三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣6