2025-2026學年上海市長寧區延安中學高一（上）期中數學試卷（含解析）

2025-2026學年上海市長寧區延安中學高一（上）期中數學試卷考試注意事項：1、考生須誠信考試,遵守考場規則和考試紀律，并自覺服從監考教師和其他考試工作人員

管理；

2、監考教師發卷后，在試卷指定的地方填寫本人準考證號、姓名等信息；考試中途考生不準以任何理由離開考場；

3、考生答卷用筆必須使用同一規格同一顏色的筆作答(作圖可使用鉛筆)，不準用規定以外的筆答卷，不準在答卷上作任何標記。考生書寫在答題卡規定區域外的答案無效。4、考試開始信號發出后,考生方可開始作答。一、填空題（共有12題，滿分42分，第1～6題每題3分，第7～12題每題4分）1．用符號或填空：2．已知集合，0，2，，若，，則．3．若實數，且，，則．4．某班有50名同學，參加數學競賽的有36人，參加化學競賽的有20人，兩種競賽都不參加的有8人，則兩種競賽都參加的有人．5．已知關于的不等式的解集為，則．6．已知，，且，則的最大值為．7．已知集合，，則．8．若實數，滿足，則不等式的解集為．9．若不等式對一切都成立，則實數的取值范圍是．10．已知，若存在，，使得不等式成立，則的取值范圍是．11．已知集合有整數解，非空集合滿足條件：（1），（2）若，則，則所有這樣的集合的個數為．12．已知實數，滿足且，則的最大值是．二、選擇題（本大題共4題，滿分12分，每題3分）13．下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則14．用反證法證明命題：“，，若可被5整除，那么，中至少有一個能被5整除”時，假設的內容應該是（）A．，不都能被5整除 B．，都能被5整除 C．，都不能被5整除 D．能被5整除15．香農公式是被廣泛公認的通信理論基礎和研究依據，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大數據傳輸速率取決于信道帶寬、信道內信號的平均功率、信道內部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．根據香農公式，若當，時，最大數據傳輸速率記為；當，時，最大數據傳輸速率記為，則（）A．1 B．2 C．3 D．416．對三個正實數、、，下列說法正確的是（）A．存在，，的一組值，使得、、均小于2 B．存在，，的一組值，使得、、中恰有兩個小于2 C．對，，的任意值，、、都不小于2 D．對，，的任意值，、、中至多有兩個不小于2三、解答題（本大題共5題，滿分46分）17．已知，．（1）求的值；（2）用，表示．18．設集合，集合．（1）若，求；（2）設命題，命題，若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍．19．已知冪函數在上單調遞增．（1）求實數的值；（2）若，求實數的取值范圍．20．小王大學畢業后，決定利用所學專業進行自主創業．經過市場調查，生產某小型電子產品需投入年固定成本為3萬元，每生產萬件，需另投入流動成本為萬元，在年產量不足8萬件時，（萬元）．在年產量不小于8萬件時，（萬元）．每件產品售價為5元．通過市場分析，小王生產的商品能當年全部售完．（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬件）的函數解析式；（注：年利潤年銷售收入固定成本流動成本）（2）年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？21．問題：正實數，滿足，求的最小值．其中一種解法是：，當且僅當且時，即且時取等號，學習上述解法并解決下列問題：（1）若正實數，滿足，求的最小值；（2）若實數，，正實數，滿足，求證：；（3）求代數式的最小值，并求出使得取最小值的的值．

參考答案一、填空題（本大題共有12題，滿分42分，第1～6題每題3分，第7～12題每題4分）1．用符號或填空：解：為無理數，為有理數集，所以．故答案為：．2．已知集合，0，2，，若，，則，．解：集合，0，2，，，，故．故答案為：，．3．若實數，且，，則．解：由題意可得，，即，則．故答案為：．4．某班有50名同學，參加數學競賽的有36人，參加化學競賽的有20人，兩種競賽都不參加的有8人，則兩種競賽都參加的有14人．解：依題意得：為兩種都參加的，設為人，則中有人，中有人，故有：，解得．故答案為：14．5．已知關于的不等式的解集為，則．解：關于的不等式的解集是，所以方程的解為：和3，由根與系數的關系知，，，解得，所以．故答案為：．6．已知，，且，則的最大值為．解：因為，，且，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最大值為．故答案為：．7．已知集合，，則，．解：集合，，當時，，則，．故答案為：，．8．若實數，滿足，則不等式的解集為，，．解：不等式變形為，，，，，不等式的解集為，，．9．若不等式對一切都成立，則實數的取值范圍是，．解：，，當時，，不等式成立；設，當時函數為二次函數，要恒小于0，拋物線開口向下且與軸沒有交點，即要且△，得到：綜上得到，故答案為：，．10．已知，若存在，，使得不等式成立，則的取值范圍是，．解：已知，若存在，，使得不等式成立，所以在，上有解，，令，，，則，所以，即的取值范圍是，．故答案為：，．11．已知集合有整數解，非空集合滿足條件：（1），（2）若，則，則所有這樣的集合的個數為31．解：（1）的整數解只能是36的約數當方程的解為，36時，；當方程的解為，18時，；當方程的解為，12時，；當方程的解為，9時，；當方程的解為，6時，；當方程的解為1，時，；當方程的解為2，時，；當方程的解為3，時，；當方程的解為4，時，；故集合，，，，0，5，9，16，由非空集合滿足條件：（1），（2）若，則，可得這樣的集合共有個故答案為：3112．已知實數，滿足且，則的最大值是．解：由，可知，不等式兩邊時乘以，得，解得．令，即．所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最大值是．故答案為：．二、選擇題（本大題共4題，滿分12分，每題3分）13．下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則解：對于，若，，則，由，即，故正確；對于，因為，又，，則，故，即錯誤；對于，當時，，故錯誤；對于，當時，，故錯誤．故選：．14．用反證法證明命題：“，，若可被5整除，那么，中至少有一個能被5整除”時，假設的內容應該是（）A．，不都能被5整除 B．，都能被5整除 C．，都不能被5整除 D．能被5整除解：由于反證法是命題的否定的一個運用，故用反證法證明命題時，可以設其否定成立進行推證．命題“，，如果可被5整除，那么，至少有1個能被5整除．”的否定是“，都不能被5整除”．故選：．15．香農公式是被廣泛公認的通信理論基礎和研究依據，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大數據傳輸速率取決于信道帶寬、信道內信號的平均功率、信道內部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．根據香農公式，若當，時，最大數據傳輸速率記為；當，時，最大數據傳輸速率記為，則（）A．1 B．2 C．3 D．4解：由題意可知，，，．故選：．16．對三個正實數、、，下列說法正確的是（）A．存在，，的一組值，使得、、均小于2 B．存在，，的一組值，使得、、中恰有兩個小于2 C．對，，的任意值，、、都不小于2 D．對，，的任意值，、、中至多有兩個不小于2解：取，則，即存在，，，使得中恰有兩個小于2．故選：．三、解答題（本大題共5題，滿分46分）17．已知，．（1）求的值；（2）用，表示．解：（1）因為，，即，，則；（2）．18．設集合，集合．（1）若，求；（2）設命題，命題，若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍．解：（1），當時，集合，因此；（2），，因為是成立的必要不充分條件，所以集合是集合的真子集，因此有，解得，故的范圍為，．19．已知冪函數在上單調遞增．（1）求實數的值；（2）若，求實數的取值范圍．解：（1）因為是冪函數，所以，解得，或，又因為在上單調遞增．所以，即，所以．（2）由于在區間，上都是減函數，且．分三種情況討論：①當，即時，原不等式成立；②當，且時，有，即，解集為空集．③當，且時，有，解得．綜上所述：的取值范圍是，，．20．小王大學畢業后，決定利用所學專業進行自主創業．經過市場調查，生產某小型電子產品需投入年固定成本為3萬元，每生產萬件，需另投入流動成本為萬元，在年產量不足8萬件時，（萬元）．在年產量不小于8萬件時，（萬元）．每件產品售價為5元．通過市場分析，小王生產的商品能當年全部售完．（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬件）的函數解析式；（注：年利潤年銷售收入固定成本流動成本）（2）年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）由題意知每件商品售價為5元，故得到萬件商品銷售收入為萬元，所以當時，，且當時，，故；（2）①當時，，易知當時，取得最大值（2）萬元，②當時，，當且僅當時，取得最大值15萬元，因為，故年產量為10萬件時，所獲利潤最大，最大利潤為15萬元．21．問題：正實數，滿足，求的最小值．其中一種解法是：，當且僅當且時，即且