2026《金版教程》數學RJ選擇性必修第一冊A版 1.4.1 第1課時 空間中點、直線和平面的向量表示空間中直線、平面的平行

第一章

空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系第1課時空間中點、直線和平面的向量表示空間中直線、平面的平行

(教師獨具內容)課程標準：1.能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系.3.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面平行關系的判定定理．教學重點：1.用待定系數法求平面的法向量.2.用法向量證明平行關系．教學難點：1.求平面的法向量.2.空間向量在解決立體幾何平行問題中的應用．核心素養：1.通過直線的方向向量和平面的法向量的求解，提升數學運算素養.2.通過利用向量方法解決空間中直線、平面的平行問題，把幾何問題轉化為代數問題，提升數學運算、邏輯推理及直觀想象素養．核心概念掌握核心素養形成隨堂水平達標目錄課后課時精練核心概念掌握ta直線的方向向量xa＋yb(3)空間中任意平面由__________及_______________唯一確定．(4)如圖，直線l⊥α.取直線l的方向向量a，稱_______為_______的法向量．給定一個點A和一個向量a，過點A，且以向量a為________的平面完全確定，可以表示為集合____________．[提醒]

(1)平面α的一個法向量垂直于平面α內的所有向量．(2)一個平面的法向量有無限多個，它們互相平行．空間一點兩個不共線向量向量a平面α法向量知識點四空間中平行關系的向量表示設u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量．[提醒]

(1)用向量方法證明線線平行時，必須說明兩直線不重合．(2)證明線面平行時，必須說明直線不在平面內．(3)證明面面平行時，必須說明兩個平面不重合．線線平行l1∥l2?________?________________________________________________線面平行若l1?α，則l1∥α?________?_________面面平行α∥β?________?______________________u1∥u2?λ∈R，使得u1＝λu2u1⊥n1u1·n1＝0n1∥n2?λ∈R，使得n1＝λn21．(空間中線面平行的向量表示)若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則可能使l∥α的是(

)A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)2．(空間中直線的向量表示)若點A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直線l上，則直線l的一個方向向量的坐標可以是______________________．3．(空間中面面平行的向量表示)已知平面α的一個法向量為(1，3，－2)，平面β的一個法向量為(－2，－6，k)，若α∥β，則k＝____．(2，4，6)(答案不唯一)4核心素養形成題型一求直線的方向向量和平面的法向量

(1)(多選)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直線l上，則直線l的一個方向向量是(

)A．(2，2，6) B．(1，1，3)C．(3，1，1) D．(－3，0，1)【感悟提升】

(1)求直線的方向向量，首先是找到直線上兩點，然后用坐標表示以這兩點為起點和終點的向量，該向量就是直線的一個方向向量．(2)利用待定系數法求平面法向量的步驟－2題型二利用空間向量證明線線平行

長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是面對角線B1D1，A1B上的點，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求證：EF∥AC1.【感悟提升】

向量法證明線線平行的兩種思路題型三利用空間向量證明線面、面面平行

已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別是BB1，DD1的中點，求證：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.【感悟提升】

1．利用空間向量證明線面平行的三種方法(1)證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內的一個基底表示．(2)證明直線的方向向量與平面內某一向量共線，轉化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．(3)先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．2．證明面面平行問題的兩種方法(1)轉化為相應的線線平行或線面平行．(2)分別求出這兩個平面的法向量，然后證明這兩個法向量平行．【跟蹤訓練】

3.在多面體ABCDE－A1B1C1D1中，已知AB⊥AE，AE∥BC，AB∥ED，AA1⊥底面ABCDE，四邊形A1B1C1D1是邊長為2的正方形且平行于底面，AB∥A1B1，D1E，B1B的中點分別為F，G，AB＝AE＝2DE＝2BC＝4，AA1＝1.證明：FG∥平面C1CD.證明：過點E作AA1的平行線，由題意可知以E為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則E(0，0，0)，B(4，4，0)，C(4，2，0)，D(2，0，0)，B1(2，4，1)，C1(2，2，1)，D1(0，2，1)．題型四平行關系中的探究性問題

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO?【感悟提升】

探究點的位置時，可先設出對應點的坐標，然后根據面面平行的判定定理轉化為向量共線問題或者利用兩個平面的法向量共線，建立與所求點的坐標有關的方程，通過解方程可得點的坐標．解：存在，當E為PD的中點時，CE∥平面PAB.由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直，以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖．∵PB與底面ABCD所成的角為45°，即∠PBA＝45°，∴AB＝PA＝1，則P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)．隨堂水平達標2.(多選)在如圖所示的空間直角坐標系中，ABCD－A1B1C1D1是棱長為1的正方體，則下列結論中正確的是(

)A．直線BD1的一個方向向量為(－2，2，2)B．直線BD1的一個方向向量為(2，2，2)C．平面B1CD1的一個法向量為(1，1，1)D．平面B1CD的一個法向量為(1，1，1)3．已知直線l的一個方向向量為a＝(－3，2，5)，平面α的一個法向量為b＝(1，x，－1)，若l∥α，則x＝_____．解析：因為l∥α，所以a⊥b，a·b＝0，即－3×1＋2x＋5×(－1)＝0，得x＝4.44．已知平面α經過點O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一個法向量，M(x，y，z)是平面α內任意一點，則x，y，z滿足的關系式是______________．x＋2y－3z＝0課后課時精練基礎題(占比50%)中檔題(占比30%)拔高題(占比20%)題號1234567難度★★★★★★★★考點根據面面平行求法向量根據線面平行求參數判斷直線與平面的位置關系平面的法向量的應用求平面的法向量利用空間向量判斷線線、線面位置關系利用空間向量判斷面面平行題號891011121314難度★★★★★★★★★★★★★★★★考點直線的方向向量、平面的法向量、平面內點的坐標表示平面的法向量的應用利用空間向量判斷線線平行利用空間向量判斷線面、面面位置關系根據線面平行求參數利用空間向量證明面面平行利用空間向量探索線面平行一、選擇題1．已知平面α∥平面β，n＝(1，－1，1)為平面α的一個法向量，則下列向量是平面β的法向量的是(

)A．(1，1，1) B．(－1，1，－1)C．(－1，－1，－1) D．(1，1，－1)解析：∵(－1，1，－1)＝－n，∴(－1，1，－1)是平面β的一個法向量．4．已知點A(2，－1，2)在平面α內，平面α的一個法向量為n＝(4，1，2)，則下列各點在平面α內的是(

)A．(－2，1，－2) B．(1，2，3)C．(3，1，－1) D．(2，－1，3)6.(多選)在如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別是棱BB1，AD，AA1的中點，則下列說法錯誤的是(

)A．D1F⊥B1C B．FG∥D1EC．FG⊥平面AD1E D．BF∥平面AD1E二、填空題7．已知平面α內的三點A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一個法向量為n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個平面α與β的位置關系是______．平行8．已知空間直角坐標系Oxyz中的點A(1，1，1)，平面α過點A且與直線OA垂直，動點P(x，y，z)是平面α內的任一點，則直線OA的一個方向向量為_______________________，點P的坐標滿足的條件為_____________．(1，1，1)(答案不唯一)x＋y＋z＝3三、解答題10.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為DD1和BB1的中點．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形．513．如圖1，已知直角梯形CDEF中，CF∥DE，DE⊥EF，CF＝2DE＝2EF＝4，M為CF的中點，將△CDM